Études énergétiques en mécanique

Curiosity, robot mobile de la NASA, a atterri avec succès sur Mars le 6 août 2012.
Le véhicule dispose de 75 kg d'équipements scientifiques. À 2,00 km d'altitude et à une vitesse de 100 m·s^-1, débute la descente autopropulsée puis à 20 m du sol, avec une vitesse de 75 cm·s^-1 seulement, l'étage de descente commence à descendre le robot au bout de trois filins de 7,50 mètres pour déposer Curiosity en douceur


1. Déterminer le travail du poids entre \text{A} et \text{B} et commenter.

2. Montrer que l'énergie mécanique du rover ne se conserve pas entre \text{A} et \text{B.} Justifier cette non-conservation.

3. Déduire des deux questions précédentes l'intensité de la force de frottement de l'air \vec{f} supposée constante. On assimile la trajectoire du rover à une droite.

• Intensité du champ de pesanteur sur Mars :
  g_{\text{mars}} = 3\text{,}7 N·kg^-1 ;
• Masse de l'étage de descente + rover :
  m = 2\text{,}0 \times 10^{3} kg ;
• Intensité du champ de pesanteur sur Tchouri (considérée comme uniforme) :
  g_{\text{Tchouri}} = 1\text{,}0 \times 10^{-4} N·kg^‑1.

1. Rappeler la formule du travail du poids. Identifier les valeurs de l'altitude z_{\text{A}} de \text{A} et z_{\text{B}} de \text{B.}

2. Montrer que E_{\mathrm{m}}(\mathrm{A})=E_{\mathrm{m}}(\mathrm{B}) sur le graphique.

3. Faire un bilan des forces s'appliquant sur le rover. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour en déduire l'expression de W_{\mathrm{AB}}(\vec{f}). Exprimer le travail W_{\mathrm{AB}}(\vec{f}) en fonction de f, z_{\text{A}} et z_{\text{B}}.

1. Le travail du poids s'écrit : W_{\mathrm{AB}}(\vec{P})=m \cdot g \cdot(z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}). Le rover débute sa descente à z_{\text{A}}=2\text{,}00 km d'altitude pour atteindre le point \text{B} en z_{\text{B}}=20 m.
W_{\mathrm{AB}}(\vec{P})=m \cdot g \cdot\left(z_{\text{A}}-z_{\text{B}}\right)=2\text{,}0 \times 10^{3} \times 3\text{,}7 \times\left(2\text{,}00 \times 10^{3}-20\right)=1\text{,}5 \times 10^{7} J.
Ainsi W_{\text{AB}}(\vec{P})>0. Le travail du poids est donc moteur.

2. E_{\text{m}}(\text{A})=E_{\text{c}}(\text{A})+E_{\text{p}}(\text{A})=\dfrac{1}{2} m \cdot v_{\text{A}}^{2}+m \cdot g \cdot z_{\text{A}}=2\text{,}5 \times 10^{7} J.
E_{\text{m}}(\text{B})=\dfrac{1}{2} m \cdot v_{\text{B}}^{2}+m \cdot g \cdot z_{\text{B}}=1\text{,}5 \times 10^{5} J.
Ainsi E_{\mathrm{m}}(\mathrm{A}) \neq E_{\mathrm{m}}(\mathrm{B}). L'énergie mécanique du système ne se conserve pas. Il existe donc des forces dissipatives.

3. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au système, on obtient : E_{\text{c}}(\text{B})-E_{\text{c}}(\text{A})=W_{\text{AB}}(\vec{P})+W_{\text{AB}}(\vec{f}), soit :
W_{\mathrm{\text{AB}}}(\vec{f})=E_{\text{c}}(\text{B})-E_{\text{c}}(\text{A})-W_{\text{AB}}(\vec{P})
W_{\mathrm{\text{AB}}}(\vec{f})=\dfrac{1}{2} \times 2\text{,}00 \times 10^{3}(0\text{,}75^{2}-100^{2})-1\text{,}5 \times 10^{7}=-2\text{,}5 \times 10^{7} J.
Enfin W_{\text{AB}}(\vec{f})=\vec{f} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} donc f=\dfrac{W_{\mathrm{AB}}(\vec{f})}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}=\dfrac{-2\text{,}5 \times 10^{7}}{-1\text{,}98 \times 10^{3}}=1\text{,}3 \times 10^{4} N.

1. Les grandeurs m et g possèdent 2 chiffres significatifs, z_{\text{A}}-z_{\text{B}} en possède 3. Le résultat doit donc en comporter 2.

2. Calculer et comparer l'énergie mécanique du rover à deux endroits différents de sa trajectoire.

3. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique \Sigma(W_{\mathrm{AB}}(\vec{F}))=\Delta E_{\mathrm{c}}, puis utiliser la définition du travail d'une force constante s'appliquant sur le rover en admettant que sa trajectoire est rectiligne : W_{\mathrm{AB}}(\vec{f})=\vec{f} \cdot \overrightarrow{\text{AB}}.