Nombres complexes conjugués

79

[Calculer.]
Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

1. $a=\overline{0}$

2. $b=\overline{\mathrm{i}}$

3. $c=\overline{-\mathrm{i}}$

4. $d=\overline{1+\mathrm{i}}$

5. $e=\overline{1-\mathrm{i}}$

6. $f=\overline{3+2\mathrm{i}}$

7. $g=\overline{\frac{1}{2}-2\mathrm{i}}$

8. $h=\overline{\frac{\sqrt{2}}{2}+2\mathrm{i}\sqrt{2}}$

82

[Calculer.]

1. $a=(1+\mathrm{i}{)}^2$

2. $b=(1-\mathrm{i}{)}^2$

3. $c=(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})$

4. $d=(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{3})(\mathrm{i}\sqrt{3}+\sqrt{2})$

90

Démo

[Raisonner.]
Soit $z$ un nombre complexe.

1. Pour tout entier naturel $n$, on appelle ${\mathrm{P}}_n$ la proposition « $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$ ».
Démontrer, par récurrence, que la proposition ${\mathrm{P}}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

2. On suppose $z\ne 0$ et on note $n$ un entier strictement négatif.
a. Exprimer $z^{-n}$ en fonction de $z^n.$

b. À l'aide de la question 1., justifier que $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n.$

3. Conclure.

91

Algo

[Calculer.]
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du conjugué $\overline{z}$ de $z$ lorsque l'utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de $z$.

92

Algo

[Calculer.]
Écrire un algorithme qui prend en arguments la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe $z$ et qui retourne :

• « $0$ n'a pas d'inverse » si $z$ est égal à $0$ ;
• la partie réelle et la partie imaginaire de son inverse $\frac{1}{z}$ sinon.

93

Algo

[Calculer.]
1. Écrire un algorithme qui prend en arguments les parties réelle et imaginaire de deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ et qui retourne :

• « le quotient n'existe pas » si $z_2$ est égal à $0$ ;
• la partie réelle et la partie imaginaire de $\frac{z_1}{z_2}$ sinon.

2. Implémenter cet algorithme et le tester pour $z=\frac{3-\mathrm{i}}{4+2\mathrm{i}}$.

94

[Calculer.]

1. $\mathrm{i}z+3(z-\mathrm{i})=0$

2. $(4+\mathrm{i})z=4-z$

3. $(2\mathrm{i}+1)z=1+\mathrm{i}-2\mathrm{i}z$

4. $\frac{z+1}{z-2}=3\mathrm{i}$

95

[Calculer.]

1. $(5+2\mathrm{i})\overline{z}-2=\mathrm{i}$

Insérer une formule mathématique

2. $2\mathrm{i}(1-2\overline{z})+\overline{z}=\mathrm{i}\overline{z}-1$

Insérer une formule mathématique

3. $2\mathrm{i}\overline{z}-\mathrm{i}=2(\overline{z}-5)+\mathrm{i}$

Insérer une formule mathématique

4. $\frac{\overline{z}-2\mathrm{i}}{\overline{z}-1}+1+\mathrm{i}=0$

Insérer une formule mathématique

98

[Calculer.]
Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants.

1. $\{\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{z}_1+z_2& =2\\ \frac{1}{2}\overline{z_1}+\mathrm{i}\times \overline{z_2}& =0\end{array}$

2. $\{\begin{array}{rl}3z_1-2z_2& =4\mathrm{i}-2\\ \overline{z_1}+2\overline{z_2}& =2\end{array}$

3. $\{\begin{array}{rl}{z}_1-z_2& =3-4\mathrm{i}\\ \overline{z_1}+2\overline{z_2}& =8-\mathrm{i}\end{array}$

4. $\{\begin{array}{rl}6z_1-3z_2& =12+\mathrm{i}\\ 3\overline{z_1}-\overline{z_2}& =6\end{array}$

99

Vrai / Faux

[Calculer.]
Soient $z_1=1-3\mathrm{i}$ et $z_2=2\mathrm{i}+3$.

1. « Le conjugué de la somme $z_1+z_2$ est égal à $4+\mathrm{i}$. »

2. « Le conjugué du produit $z_1\times z_2$ est égal à $9-7\mathrm{i}$. »

3. « Le conjugué de ${\left(z_1\right)}^3$ est égal à $-26-18\mathrm{i}$. »

4. « Le conjugué de ${\left(z_1\times \overline{z_2}\right)}^2$ est égal à $112-66\mathrm{i}$. »

100

Vrai / Faux

[Raisonner.]

1. « $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$ est l'inverse de $1+\mathrm{i}$. »

2. « Les nombres complexes $\frac{1}{1+\mathrm{i}}$ et $\frac{1}{1-\mathrm{i}}$ ont la même partie réelle. »

3. « $\frac{4+2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ est le conjugué de $1-3\mathrm{i}$. »

4. « $(1+\mathrm{i}{)}^3$ est le conjugué de $\frac{4}{1+\mathrm{i}}$. »

5. « Le conjugué de $(1+2\mathrm{i})(2\mathrm{i}+3)$ est $(1-2\mathrm{i})(2\mathrm{i}-3)$. »

6. « Soient $z_1=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ et $z_2=\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$. Alors $z_1+z_2\in \mathbb{R}$ et $z_1-z_2\in \mathrm{i}\mathbb{R}.$ »

101

Vrai / Faux

[Raisonner.]

1. « Le nombre complexe $-2-\frac{1}{2}\mathrm{i}$ est le conjugué de la solution dans $\mathbb{C}$ de l'équation $\mathrm{i}z-3+\mathrm{i}=(2+\mathrm{i})z+1$. »

2. « Le nombre complexe $-1-3\mathrm{i}$ est solution de l'équation $2\mathrm{i}\times \overline{z}=5(1-\mathrm{i})-\overline{z}$. »

3. « L'équation $2z-\mathrm{i}\times \overline{z}=3+\mathrm{i}+2\overline{z}$ n'a pas de solution dans $\mathbb{C}$. »

4. « Les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ vérifiant $\{\begin{array}{rl}2z_1-z_2& =1+3\mathrm{i}\\ \overline{z_1}+2\overline{z_2}& =3+\mathrm{i}\end{array}$ sont conjugués »

102

Devoir maison

[Raisonner.]
Soit $z$ un nombre complexe non nul.
Indiquer pour chacun des nombres suivant, s'il s'agit d'un nombre réel ou d'un nombre imaginaire pur.
Justifier.

1. $z_1=z+\overline{z}$

2. $z_2=z-\overline{z}$

3. $z_3=z^2+(\overline{z}{)}^2$

4. $z_4=z^2-(\overline{z}{)}^2$

5. $z_5=\frac{z+\overline{z}}{z-\bar{z}}$ avec $z\ne \bar{z}$

6. $z_6=\frac{z-\overline{z}}{z+\bar{z}}$ avec $z\ne -\bar{z}$

7. $z_7=\frac{z^2+(\overline{z}{)}^2}{z\times \bar{z}}$

8. $z_8=\frac{z^2-(\overline{z}{)}^2}{z\times \bar{z}}$