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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Auto-évaluation
Exercices d'auto-évaluation
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QCM réponse unique
QCM
réponse unique
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9
Soient z_{1}=2+3 \mathrm{i} et z_{2}=1-2 \mathrm{i} deux nombres complexes. La forme algébrique de z_1 z_2 est :
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La partie imaginaire de \frac{2+3 \mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}} est égale à :
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11
Le conjugué de (1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})^{3} est :
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Les racines complexes du polynôme \text{P} défini dans \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{2}-2 z+10 sont :
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QCMRéponses multiples
Une ou plusieurs bonnes réponses par question
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L'inverse de \mathrm{i}^{5} est :
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Le quotient \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} :
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On considère l'équation (\mathrm{E}): z^{3}-1=0.
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Soit \text{P} le polynôme défini dans \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{4}+3 z^{2}-4. Alors le polynôme \text{P} :
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Problème
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Soient z_1 et z_2 les nombres complexes définis par z_{1}=1+\mathrm{i} et z_{2}=\overline{z_{1}}.
1. a. Calculer z_{1}+z_{2} et z_{1} \times z_{2}.
b. Déterminer le polynôme unitaire \text{P} de degré 2 dont les racines sont z_1 et z_2.
b. Déterminer le polynôme unitaire \text{P} de degré 2 dont les racines sont z_1 et z_2.
2. Soit \text{Q} le polynôme de degré 3 défini sur \mathbb{C} par \mathrm{Q}(z)=z^{3}-6 z^{2}+10 z-8.
a. Montrer que \text{Q} se factorise par \text{P} et déterminer le nombre complexe \alpha tel que, pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{Q}(z)=(z-\alpha) \mathrm{P}(z).
b. En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation \mathrm{Q}(z)=0.
a. Montrer que \text{Q} se factorise par \text{P} et déterminer le nombre complexe \alpha tel que, pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{Q}(z)=(z-\alpha) \mathrm{P}(z).
b. En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation \mathrm{Q}(z)=0.
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QCMSupplémentaires
Une ou plusieurs bonnes réponses par question
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A
Le nombre complexe z = (3 + 2 \text{i})^3 :
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B
Vrai ou faux ? Le nombre \mathrm{i}^{2021} est un réel.
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C
Dans \mathbb{C}, l'équation 3 \overline{z} = 2 z + \overline{z} :
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D
Dans \mathbb{C}, l'équation \overline{ \left( \overline{z} + 2z \right)} = 2 - \text{i} :
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E
Le conjugué de z = \dfrac{1 + 2 \text{i}}{2-\text{i}} est :
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F
Dans \mathbb{C}, l'équation z^2-z+2=0 :
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G
Le polynôme P(z)=(z^2+1)(z^2-4z+4) :
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H
Le polynôme P(z) =(z^2-3z+5)(z^2+1) :
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