1

L'ensemble des nombres complexes \mathbb{C} est l'ensemble des nombres \mathbf{z} écrits sous forme algébrique \mathbf{z}=\boldsymbol{a}+\mathbf{i} \boldsymbol{b} où \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} sont deux nombres réels et \mathbf{i} est un nombre tel que \boldsymbol{\mathbf{i}^{2}=-1}. Cela permet de :

✔ prolonger les propriétés sur les opérations de \mathbb{R} dans un autre ensemble le contenant (comme par exemple l'associativité, la commutativité et la distributivité) ;
✔ déterminer les solutions d'équations insolubles dans \mathbb{R} (comme, par exemple, x^2 = -4).

2

Dans la forme algébrique, \boldsymbol{a} est la partie réelle de \boldsymbol{z} et \boldsymbol{b} est sa partie imaginaire. Le conjugué de \boldsymbol{z} est le nombre \overline{\boldsymbol{z}}=\boldsymbol{a}-\mathbf{i} \boldsymbol{b}. Cela permet de :

✔ déterminer l'inverse d'un nombre complexe non nul sous forme algébrique ;
✔ calculer le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique.

3

Pour tous complexes \boldsymbol{u} et \boldsymbol{v} et pour tout \boldsymbol{n} \in \mathbb{N}, (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})^{\boldsymbol{n}}=\mathop{\sum}\limits_{\boldsymbol{k=0}}\limits^{\boldsymbol{n}}\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{n} \\ \boldsymbol{k}\end{array}\right) \boldsymbol{u}^{\boldsymbol{n}-\boldsymbol{k}} \boldsymbol{v}^{\boldsymbol{k}} (formule du binôme de Newton). Cela permet de :

✔ développer une expression en utilisant les mêmes identités remarquables que dans \mathbb{R} (celles apprises en seconde) ;
✔ généraliser les identités remarquables à des degrés supérieurs à 2.

4

Un polynôme \mathbf{P} de degré \boldsymbol{n} admet au maximum \boldsymbol{n} racines dans \mathbb{C} et se factorise par \boldsymbol{(z-\alpha)} lorsque \boldsymbol{\alpha} est une racine de \mathbf{P}.
Cela permet de :

✔ factoriser un polynôme dont une racine est connue ;
✔ résoudre une équation de degré supérieur ou égal à 3 à l'aide d'une factorisation ;
✔ résoudre une équation de degré deux dans un cas particulier : un polynôme a z^{2}+b z+c (où a, b et c sont des réels tels que a \neq 0) admet pour racines \frac{-b \pm \mathrm{i} \sqrt{|\Delta|}}{2 a} lorsque \Delta=b^{2}-4 a c \lt 0.