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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
TP INFO 1
Suite de nombres complexes
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Énoncé
Soient \alpha et \beta deux réels non simultanément nuls et soit q le nombre complexe q=\alpha+\mathrm{i} \beta.
On définit sur \mathbb{N} :
- une suite de nombres complexes (z_n) telle que z_0 = 1 et, pour tout entier naturel n, z_{n+1}=q z_{n} ;
- les suites de nombres réels (a_n), (b_n) et (u_n) définies, pour tout entier naturel n, par a_{n}=\operatorname{Re}\left(z_{n}\right), b_{n}=\operatorname{Im}\left(z_{n}\right) et u_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}.
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Objectif
Étudier la convergence de la suite \boldsymbol{(u_n)} pour différentes valeurs de \boldsymbol{q} à l'aide d'une des deux méthodes.
Objectif
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Question préliminaire
1. Pour cette question uniquement, on pose q=\mathrm{i}.
a. Calculer z_1, z_2, z_3 et z_4, puis en déduire les valeurs de u_0, u_1, u_2, u_3 et u_4.
b. Conjecturer, pour tout entier naturel n, une expression de u_n en fonction de n.
a. Calculer z_1, z_2, z_3 et z_4, puis en déduire les valeurs de u_0, u_1, u_2, u_3 et u_4.
b. Conjecturer, pour tout entier naturel n, une expression de u_n en fonction de n.
c. Démontrer cette conjecture et en déduire la convergence de la suite (u_n).
2. Répondre aux questions précédentes avec q=2\mathrm{i}.
Aide
On pourra démontrer que,
pour tout entier n, u_{n+1}=u_{n}.
2. Répondre aux questions précédentes avec q=2\mathrm{i}.
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Méthode 1Tableur
1. Exprimer, pour tout entier naturel n, z_{n+1} en fontion de z_n, puis a_{n+1} et b_{n+1} en fonction de a_n et de b_n.
2. À l'aide d'une feuille de calcul, on souhaite créer un tableau donnant les valeurs de a_n, b_n et u_n pour n variant de 0 à 30.
a. Quelles formules doit‑on entrer dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les valeurs de a_n et b_n pour 1 \leqslant n \leqslant 30 par recopie vers le bas ?
2. À l'aide d'une feuille de calcul, on souhaite créer un tableau donnant les valeurs de a_n, b_n et u_n pour n variant de 0 à 30.
a. Quelles formules doit‑on entrer dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les valeurs de a_n et b_n pour 1 \leqslant n \leqslant 30 par recopie vers le bas ?
b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule D2 pour obtenir les valeurs de u_n pour 0 \leqslant n \leqslant 30 par recopie vers le bas ?
c. Quelle conjecture peut‑on faire pour la limite de la suite (u_n) ?
3. Que se passe‑t‑il lorsque q=2+2 \mathrm{i} ?
c. Quelle conjecture peut‑on faire pour la limite de la suite (u_n) ?
3. Que se passe‑t‑il lorsque q=2+2 \mathrm{i} ?
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Méthode 2Python
1. Créer les nombres complexes \text{i} et q sur Python avec le code suivant en conjecturant le fonctionnement de la commande complex.
2. On considère la fonction z d'arguments n et q ci‑dessous. Que permet‑elle de calculer ?
3. Les commandes z.real et z.imag permettent d'obtenir respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe z.
Écrire une fonction U prenant en argument n et q et renvoyant la valeur de u_n (penser à charger le module math pour le calcul d'une racine carrée).
4. À l'aide d'une boucle, afficher les valeurs de u_n pour l'entier n compris entre 1 et 30. Que peut‑on conjecturer à propos de la suite (u_n) ?
2. On considère la fonction z d'arguments n et q ci‑dessous. Que permet‑elle de calculer ?
3. Les commandes z.real et z.imag permettent d'obtenir respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe z.
Écrire une fonction U prenant en argument n et q et renvoyant la valeur de u_n (penser à charger le module math pour le calcul d'une racine carrée).
4. À l'aide d'une boucle, afficher les valeurs de u_n pour l'entier n compris entre 1 et 30. Que peut‑on conjecturer à propos de la suite (u_n) ?
5. Que se passe‑t‑il lorsque q=2+2 \mathrm{i} ?
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