Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Histoire des mathématiques : Nombres complexes
Histoirep. 12-13
Activités - Histoire des mathématiques
Histoirep. 14-15
Nombres complexes : point de vue algébrique
Ouverturep. 16-17
Activités
Activitép. 18-19
1. L’ensemble C des nombres complexes
Coursp. 20-22
2. Nombres complexes conjugués
Coursp. 23-25
3. Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2
Coursp. 26-29
L'essentiel
Fiches de révision - Exclusivité numériquep. 30
Auto-évaluation
Auto-évaluationp. 31
TP1 : Suite de nombres complexes
TP / TICEp. 32
TP2 : Racines carrées d’un nombre complexe
TP / TICEp. 33
Travailler les automatismes
Exercicesp. 34-35
1. L’ensemble C des nombres complexes
Exercicesp. 36-37
2. Nombres complexes conjugués
Exercicesp. 38-40
3. Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2
Exercicesp. 40-42
Synthèse
Synthèsep. 44-47
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Exercices transversaux
Exercicesp. 238-243
Se préparer au Grand Oral
Grand oral
Présentation du Grand Oral
Grand oral
Conseils pour le Grand Oral
Méthode
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Exercices

Travailler les automatismes

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À l'oral
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18

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants. 1. a=3+2 \mathrm{i}
2. b=-2 \mathrm{i}+4
3. c=\frac{3+5 \mathrm{i}}{2}
4. d=\frac{2 \mathrm{i}-1}{\sqrt{2}}
5. e=4 \mathrm{i}
6. f=0
7. g=\mathrm{i}^{2}
8. h=\mathrm{i}^{7}
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19

On considère un réel a et le nombre complexe z=a^{2}+1+2 \mathrm{i}\left(a^{2}-3\right). 1. Déterminer les éventuelles valeurs de a pour lesquelles z est un réel.
2. Déterminer les éventuelles valeurs de a pour lesquelles z est un imaginaire pur.
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20

Déterminer mentalement les formes algébriques des nombres suivants. 1. \mathrm{Z}_{1}=(2+4 \mathrm{i})^{2}
2. \mathrm{Z}_{2}=(3-2 \mathrm{i})^{2}
3. \mathrm{Z}_{3}=(1+\mathrm{i})^{3}
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21

Déterminer les conjugués des nombres suivants. 1. \mathrm{A}=3+2 \mathrm{i}
2. \mathrm{B}=\mathrm{i}
3. \mathrm{C}=3 \mathrm{i}-4
4. \mathrm{D}=-5-6 \mathrm{i}
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22
Vrai / Faux
L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Pour tous nombres complexes a et b, le conjugué de (a+\mathrm{i} b)^{2} est a^{2}+b^{2}-2 \mathrm{i} a b. »
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23

On considère les nombres complexes : z_{1}=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} et z_{1}=\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}. Sans effectuer le calcul, justifier que z_1 + z_2 est un nombre réel.
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24
 Résoudre mentalement dans \mathbb{C} l'équation : z^{2}-4 z+5=0.
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25
On considère la fonction polynôme \text{P} définie, pour tout z \in \mathbb{C}, par \mathrm{P}(z)=z^{3}-12 z^{2}+37 z-40. On admet qu'il existe un réel k tel que : \mathrm{P}(z)=(z-k)\left(z^{2}-4 z+5\right).
En déduire une racine réelle de \text{P}.
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Forme algébrique
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Pour les exercices
26
à
30

Déterminer les formes algébriques des nombres complexes donnés.
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26

1. a=2+2 \mathrm{i}-3 \mathrm{i}-3

2. b=1+\mathrm{i}-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \mathrm{i}\right)
3. c=-2+3 \mathrm{i}-(3-3 \mathrm{i})
4. d=\frac{5}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}-\left(-\frac{5}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}\right)
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27

1. a=-(1+\mathrm{i})+2 \mathrm{i}\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\right)

2. b=2 \mathrm{i}(1-\mathrm{i})-3 \mathrm{i}(1+\mathrm{i})
3. c=-\sqrt{2}(\sqrt{2}-2 \mathrm{i} \sqrt{2})-\sqrt{3}(\mathrm{i} \sqrt{3}-2 \sqrt{3})
4. d=\mathrm{i} \sqrt{2}(2 \sqrt{2}-\mathrm{i})+2 \mathrm{i} \sqrt{3}(\mathrm{i}-\sqrt{3})
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28

1. a=(2+\mathrm{i})(1+3 \mathrm{i})

2. b=\left(\frac{3}{2}-2 \mathrm{i}\right)\left(2+\frac{3}{2} \mathrm{i}\right)
3. c=\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)(1+2 \mathrm{i})
4. d=\left(-\frac{2}{3}-\mathrm{i}\right)(3-4 \mathrm{i})
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29

1. a=(3+5 \mathrm{i})^{2}

2. b=\left(3 \mathrm{i}-\frac{1}{3}\right)^{2}
3. c=(2+3 \mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})
4. d=(\mathrm{i} \sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{3})
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30

1. a=(2+\mathrm{i})^{3}

2. b=(1-2 \mathrm{i})^{4}
3. c=(1-\mathrm{i})^{5}
4. d=(1+\mathrm{i})^{5}
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31

Soient a et b deux réels et z_1 et z_2 deux nombres complexes définis par z_{1}=a^{2}+a+\mathrm{i}\left(b^{2}+1\right) et z_{2}=3 a^{2}-3+2 \mathrm{i} b. Déterminer les éventuelles valeurs de a et b telles que z_1 et z_2 soient égaux.
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32

Soient x un réel et deux nombres complexes z_1 et z_2 définis par z_{1}=3 x-3+\mathrm{i}\left(x^{2}+1\right) et z_{2}=x^{2}-x+\mathrm{i}\left(x^{2}-1\right). 1. Déterminer les éventuelles valeurs de x telles que z_1 + z_2 soit un imaginaire pur.
2. Déterminer les éventuelles valeurs de x telles que z_1 + z_2 soit un réel.
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Résolution d'équations
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Pour les exercices
33
et
34

Résoudre dans \mathbb{C} chacune des équations suivantes d'inconnue z.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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33

1. 3 z-2 \mathrm{i}+4=\mathrm{i}-2 z

2. 3 \mathrm{i}-2 z+1=\mathrm{i}(\mathrm{i} z+4)-2
3. 3(z+\mathrm{i})-2 z=\mathrm{i}+z
4. (1+5 \mathrm{i}) \overline{z}-2=2+\mathrm{i} \overline{z}+\overline{z}
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34

1. 2 z-3 \mathrm{i} \overline{z}=-5-\mathrm{i}

2. \mathrm{i} z+\overline{z}-3=7-\overline{z}+5 \mathrm{i}
3. 2 z-\mathrm{i} \overline{z}=\mathrm{i}(3+z)+\overline{z}
4. 2 \mathrm{i}(z+1)+3 \overline{z}+1=3 z-\mathrm{i}\left(\overline{z}+\frac{5}{2}\right)
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Inverse et quotient
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35

Écrire les nombres suivants sous forme algébrique. 1. a=\frac{1}{3+2 \mathrm{i}}
2. b=\frac{4}{-2-\mathrm{i}}
3. c=\frac{1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}
4. d=\frac{6+4 \mathrm{i}}{-5-3 \mathrm{i}}
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36

Résoudre les équations suivantes d'inconnue z \in \mathbb{C}. 1. 3 z-\mathrm{i}=\mathrm{i} z-2
2. 2(1+z)-\mathrm{i}=(1+\mathrm{i}) z
3. (1+\mathrm{i}) z-2=2-\mathrm{iz}
4. z(1+2 \mathrm{i})+3=3(\mathrm{i} z-1)
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Opérations et conjugués
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Pour les exercices
37
à
39

Écrire le conjugué de z sous forme algébrique.
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37

1. z=\mathrm{i}(2+2 \mathrm{i})-3 \mathrm{i}(1+2 \mathrm{i})

2. z=-2 \mathrm{i}(1+\mathrm{i})+\frac{3}{2} \mathrm{i}(2-4 \mathrm{i})
3. z=(2+\mathrm{i})(1+3 \mathrm{i})
4. z=(2 \mathrm{i}-3)(3+\mathrm{i})
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38

1. z=(1+\mathrm{i})^{2}

2. z=(2+\mathrm{i})^{3}
3. z=(1-\mathrm{i})^{4}
4. z=(3+2 \mathrm{i})^{3}
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39

1. z=\frac{1}{\mathrm{i}}

2. z=\frac{1}{1+\mathrm{i}}
3. z=\frac{2+\mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}
4. z=\frac{1-\mathrm{i}}{2 \mathrm{i}-1}
5. z=\frac{3+2 \mathrm{i}}{2 \mathrm{i}-3}
6. z=\frac{-1-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}
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Pour les exercices
40
à
42

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ? Justifier.
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40
Vrai / Faux

« Pour tout z \in \mathbb{C}, \overline{2+\mathrm{i} z}=2-\mathrm{i} z. »
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41
Vrai / Faux

« \frac{2+\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}-\frac{2-\mathrm{i}}{3-\mathrm{i}} est un imaginaire pur. »
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42
Vrai / Faux

« Pour tout entier naturel n, (4+2 \mathrm{i})^{n}+(4-2 \mathrm{i})^{n} est un réel. »
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Équations polynomiales
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Pour les exercices
43
et
44

Résoudre dans \mathbb{C} chacune des équations suivantes.
On écrira les solutions éventuelles sous forme algébrique.
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43

1.z^{2}-2 z+5=0

2. z^{2}-4 z+13=0
3. 4 z^{2}+4 z+5=0
4. 2 z^{2}+6 z+5=0
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44

1. z^{2}+z=3 z-3

2. (z+1)^{2}-2 z=0
3. z+6=-\frac{13}{z}
4. z=1-\frac{1}{z}
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45

Après avoir écrit chacune des expressions sous la forme z^{n}-a^{n} avec a \in \mathbb{C} et n \in \mathbb{N}^{*}, factoriser ces expressions le plus possible.
1. z^{3}-1
2. z^{3}+27
3. z^{4}-16
4. z^{5}-\mathrm{i}
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46

Soit \text{P} le polynôme défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{4}+z^{3}+2 z^{2}+z+1.
Peut-on factoriser \text{P} par (z-\mathrm{i}) ? Justifier.
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Pour les exercices
47
à
50

Montrer que le nombre a est une racine du polynôme \text{P}, puis factoriser \text{P} en produit de polynômes de degré 1.
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47

\mathrm{P}(z)=z^{3}+4 z^{2}+6 z+4 et a=-2.
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48

\mathrm{P}(z)=2 z^{3}-14 z^{2}+38 z-26 et a=1.
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49

\mathrm{P}(z)=z^{4}-2 z^{3}+z^{2}+2 z-2 et a=-1.
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50

\mathrm{P}(z)=z^{4}-z^{3}-5 z^{2}-z-6 et a=\mathrm{i}.
Aide
Montrer que -\mathrm{i} est une racine du polynôme de degré 3 obtenu après la première factorisation.
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51

Dans chacun des cas suivants, déterminer deux nombres complexes z_1 et z_2 sachant que leur somme est égale à \text{S} et que leur produit est égal à \text{P}.
1. \mathrm{S}=0 ; \mathrm{P}=9
2. \mathrm{S}=25 ; \mathrm{P}=26
3. \mathrm{S}=1 ; \mathrm{P}=\frac{13}{2}
4. \mathrm{S}=2 \sqrt{2} ; \mathrm{P}=3
5. \mathrm{S}=\frac{5}{3} ; \mathrm{P}=-\frac{2}{3}
6. \mathrm{S}=0 ; \mathrm{P}=1
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