135
[Calculer, Communiquer.]
On considère le polynôme \text{P} à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{4}-8 z^{3}+41 z^{2}-128 z+400.

1. Montrer que si z est une racine du polynôme \text{P}, alors son conjugué \overline z en est aussi une.

2. a. Soit b un réel. Déterminer \mathrm{P}(\mathrm{i} b) en fonction de b puis l'écrire sous forme algébrique .

b. Montrer que le polynôme \text{P} admet exactement deux racines imaginaires pures dans \mathbb{C} et les calculer.

3. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, \mathrm{P}(z)=\left(z^{2}+16\right)\left(a z^{2}+b z+c\right).

4. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation \mathrm{P}(z)=0.

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136
[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme \text{P} à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(u)=u^{4}-1.

a. Factoriser le polynôme \text{P} dans \mathbb{C} en produit de facteurs du premier degré à coefficients complexes.

b. En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation \mathrm{P}(u)=0.

2. On considère l'équation (\mathrm{E}):\left(\frac{1-2 z}{z-2}\right)^{4}=1.
En utilisant les résultats de la question 1. b., résoudre l'équation (\mathrm{E}) dans \mathbb{C}.

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137
[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme \text{P} à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{6}-1.
a. Factoriser l'expression u^3 - v^3 pour tous nombres complexes u et v.

b. En remarquant que z^{6}=\left(z^{2}\right)^{3}, déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{P}(z)=\left(z^{2}-1\right)\left(a z^{4}+b z^{2}+c\right).

2. a. Calculer \left(\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} et \left(\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

b. En déduire les six racines dans \mathbb{C} du polynôme \text{P}.

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138
[Calculer, Raisonner.]
1. On considère l'équation du second degré à coefficients complexes :

(\mathrm{E}): z^{2}-(6+2 \mathrm{i}) z+7+6 \mathrm{i}=0.

a. Montrer que, pour tout nombre complexe z,

z^{2}-(6+2 \mathrm{i}) z=(z-(3+\mathrm{i}))^{2}-8-6 \mathrm{i}.

b. En déduire que l'équation (\mathrm{E}) équivaut à (z-(3+\mathrm{i}))^{2}=1.

c. Résoudre alors l'équation (\mathrm{E}) dans \mathbb{C}.

2. En appliquant une méthode analogue, résoudre dans \mathbb{C} l'équation du second degré à coefficients complexes :

\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): z^{2}+(2+4 \mathrm{i}) z+6+4 \mathrm{i}=0.

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139
[Calculer, Chercher.]
On considère l'équation à coefficients complexes :

(\mathrm{E}): 2 z^{2}-(1+6 \mathrm{i}) z+3 \mathrm{i}=0.

1. Démontrer que l'équation (\mathrm{E}) admet un unique nombre imaginaire pur comme solution et le déterminer.

2. L'équation (\mathrm{E}) admet‑elle comme solution un nombre réel ? Justifier

3. Résoudre (\mathrm{E}) dans \mathbb{C}.

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140
[Chercher, Représenter.]

On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}). On appelle \text{A} le point de coordonnées (2 ; 0).
À tout nombre complexe z \neq 2, on associe le nombre complexe z^{\prime}=\frac{2-\mathrm{i} z}{2-z}.
On écrit z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} où x, y, x^\prime et y^\prime sont des nombres réels.
Soit \mathrm{M}(x ; y) un point du plan distinct de \text{A} et \mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) le point qui lui est associé par la transformation z \mapsto z^{\prime}.
Le but de l'exercice est de déterminer la nature de l'ensemble des points \text{M} quand z^\prime vérifie certaines conditions.

1. Soit \text{B} le point de coordonnées (2 ; 1).
Déterminer les coordonnées \left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) du point \mathrm{B}^\prime, image du point \text{B} par la transformation définie précédemment.

2. Soit \mathrm{C}^\prime le point de coordonnées (1 ; 2).
Déterminer les coordonnées (x ; y) du point \text{C} dont l'image est le point \mathrm{C}^\prime.

3. Calculer z^\prime sous forme algébrique et exprimer sa partie réelle x^\prime et sa partie imaginaire y^\prime en fonction de x et y.

4. Déterminer une équation de l'ensemble \mathrm{E}_{1} des points \mathrm{M}(x ; y), distincts de \text{A}, tels que z^\prime soit un réel et préciser sa nature.

5. Déterminer une équation de l'ensemble \mathrm{E}_{2} des points \mathrm{M}(x ; y), distincts de \text{A}, tels que z^\prime soit un imaginaire pur et préciser sa nature.

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141
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}). On appelle \text{J} le point de coordonnées (0 ; 1).
À tout nombre complexe z \neq \mathrm{i}, on associe le nombre complexe z^{\prime}=\frac{\mathrm{i} z}{\mathrm{i}-z}.
On écrit z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} où x, y, x^\prime et y^\prime sont quatre nombres réels.
Soit \mathrm{M}(x ; y) un point du plan distinct de \text{J} et \mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) le point qui lui est associé par la transformation z \mapsto z^{\prime}.

1. Déterminer les éventuels points \mathrm{M}(x ; y) du plan pour lesquels \mathrm{M}^\prime et \text{M} sont confondus.

2. Déterminer les coordonnées du point \mathrm{I}^\prime associé au point \mathrm{I}(1 ; 0).

3. Déterminer les coordonnées du point\text{ A} tel que le point associé \mathrm{A}^\prime ait pour coordonnées (2 ; 0).

4. Déterminer une équation de l'ensemble \mathrm{E}_{1} des points \mathrm{M}(x ; y), distincts de \text{J}, tels que z^\prime soit un réel et préciser sa nature.

5. Déterminer une équation de l'ensemble \mathrm{E}_{2} des points \mathrm{M}(x ; y), distincts de \text{J}, tels que z^\prime soit un imaginaire pur et préciser sa nature.

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142
Devoir maison
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
À tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe z^{\prime}=\frac{2 \mathrm{i}-z^{2}}{z \times \overline{z}+1}.
On écrit z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} où x, y, x^\prime et y^\prime sont quatre réels.
Soit \mathrm{M}(x ; y) un point du plan et \mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) le point qui lui est associé par la transformation z \mapsto z^{\prime}.

1. Justifier que le nombre complexe z^\prime est défini pour tout z \in \mathbb{C}.

2. Existe‑t‑il des valeurs de z telles que z^\prime soit égal à 1 ? Justifier.

3. a. Démontrer que z^\prime est réel si, et seulement si, (z-\overline{z})(z+\overline{z})=4 \mathrm{i}.

b. Déterminer l'ensemble \mathrm{E}_{1} des points \mathrm{M}(x ; y) tels que z^\prime soit un réel.

4. Déterminer l'ensemble \mathrm{E}_{2} des points \mathrm{M}(x ; y) tels que z^\prime soit un imaginaire pur.

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143
[Chercher, Représenter.]
Équation à paramètre

On considère le polynôme \text{P} à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{2}-2 z+9.

1. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation \mathrm{P}(z)=6.

2. Soit m un réel. On considère l'équation (\mathrm{E}): \mathrm{P}(z)=m d'inconnue z dans \mathbb{C}.
Pour quelles valeurs de m l'équation (\mathrm{E}) admet‑elle deux solutions complexes conjuguées ? Justifier.

3. On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
On écrit z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=\mathrm{P}(z)=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} où x, y, x^{\prime} et y^{\prime} désignent quatre réels.
a. Exprimer la forme algébrique de \mathrm{P}(z) en fonction de x et y.

b. Déterminer l'ensemble\text{ E} des points \mathrm{M}(x ; y) tels que z^{\prime} soit un réel.

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144
En électronique
[Calculer, Modéliser.]
On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.

MAT.T.1.ExSynthese.circuit_electro_retoucheok

Par exemple, l'impédance d'une résistance pure est représentée par le nombre réel \text{Z}_{\mathrm{R}}=\mathrm{R}. C'est le seul composant à avoir une impédance réelle, tandis que l'impédance d'une bobine d'inductance \text{L} est représentée par le nombre complexe \text{Z}_{\mathrm{L}}=\mathrm{iL} \omega où \omega désigne la pulsation du signal et dépend de l'intensité du courant présent dans le circuit.
Lorsqu'ils sont montés en parallèle, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique associé à l'impédance \text{Z} vérifiant \frac{1}{\mathrm{Z}}=\frac{1}{\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}}+\frac{1}{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}.
Donner la forme algébrique de l'impédance \text{Z} en fonction de \text{R}, de\text{ L} et de \omega.

À savoir

En électricité, le nombre complexe\text{ i} est noté \text{j} pour qu'il n'y ait pas de confusion avec l'intensité du courant.

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145
[Calculer, Chercher.]
Suite de nombres complexes

Soient \alpha et \beta deux nombres réels. On définit une suite récurrente d'ordre 2 par la donnée de u_0, de u_1 et de la relation de récurrence (1): u_{n+2}=\alpha u_{n+1}+\beta u_{n}, valable pour tout entier naturel n.

1. a. Soit r un nombre complexe non nul et (u_n) la suite définie pour tout entier naturel n par u_n = r^n.
Montrer que si (u_n) vérifie la relation (1), alors r est solution de l'équation \text {(2)}: r^{2}-\alpha r-\beta=0.

b. On suppose que r_1 et r_2 sont les solutions dans \mathbb{C} de l'équation (2).
Montrer que s'il existe \lambda et \mu dans \mathbb{C} tels que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}, alors la suite (u_n) vérifie la relation (1).

2. On admet que si une suite (u_n) vérifie la relation (1), alors il existe deux nombres complexes \lambda et \mu tels que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}, où r_1 et r_2 désignent les solutions de l'équation r^{2}=\alpha r+\beta.
Soit (v_n) la suite définie pour tout entier naturel n par : \left\{\begin{aligned}v_{0}&=1 ; v_{1}=2 \\ v_{n+2}&=4 v_{n+1}-5 v_{n}\end{aligned}\right..
Exprimer, pour tout entier naturel n, v_n en fonction de n.

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146
GeoGebra
Tableur
[Représenter, Communiquer.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
Pour tout nombre complexe z, on définit le nombre complexe f(z)=\frac{1}{2}(1-\mathrm{i}) z+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}.
On pose z_{0}=2+\mathrm{i} et, pour tout entier naturel n, z_{n+1}=f\left(z_{n}\right).
On écrit, pour tout entier naturel n, z_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n} avec x_n et y_n réels. On a ainsi x_0 =2 et y_0 = 1.
Pour tout entier naturel n, on appelle \mathrm{P}_{n} le point de coordonnées (x_n ; y_n) dans le repère.

1. a. Calculer z_1 et z_2 et en déduire les coordonnées des points \mathrm{P}_{1} et \mathrm{P}_{2}.

b. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer x_{n+1} et y_{n+1} en fonction de x_n et y_n.

2. a. À l'aide du tableur de GeoGebra, représenter dans le repère les points \mathrm{P}_{n} pour n allant de 0 à 30.

Aide

Après avoir complété le tableur avec deux colonnes x_n et y_n, sélectionner toutes les valeurs, faire un clic droit et choisir « Créer liste de points ».

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b. Qu'observe‑t‑on ?

3. Soit \text{J} le point de coordonnées (0 ;-1). On définit, pour tout entier naturel n, la suite (d_n) par d_{n}=\mathrm{JP}_{n}.
a. Pour tout entier naturel n, exprimer d_n en fonction de x_n et y_n.

b. À l'aide d'un tableur ou de GeoGebra, représenter le nuage de points de coordonnées (n ; d_n) dans un repère orthonormé. Qu'observe‑t‑on ?

c. Conjecturer la limite de la suite (d_n).

4. a. Montrer qu'il existe un unique nombre complexe \omega tel que f(\omega)=\omega.

b. Comment peut‑on interpréter les observations faites à la question 2. b. sur les points \mathrm{P}_n ?

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147
[Raisonner, Représenter.]
Suite de nombres complexes

Soit \alpha un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit la suite (z_n) de nombres complexes par z_{0}=0 et, pour tout entier naturel n, z_{n+1}=\alpha z_{n}-\mathrm{i}.

1. a. Calculer z_1, z_2 et z_3 en fonction de \alpha.

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, z_{n}=\frac{1-\alpha^{n}}{\alpha-1} \times \mathrm{i}.

2. Uniquement dans cette question, on pose \alpha=\mathrm{i}.
a. Montrer que z_4 = 0.

b. Pour tout entier naturel n, exprimer z_{n+4} en fonction de n, puis en fonction de z_n.

c. On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
On pose, pour tout entier naturel n, z_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n} et on appelle \mathrm{P}_n les points de coordonnées (x_n ; y_n).
Placer les points \mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \mathrm{P}_3 et \mathrm{P}_4 dans le repère.

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148
Approfondissement
[Chercher, Calculer.]
Partie A : Formules de Viète, cas \boldsymbol{n = 3}
On considère un polynôme \text{P} de degré 3 à coefficients réels défini dans \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=\alpha_{3} z^{3}+\alpha_{2} z^{2}+\alpha_{1} z+\alpha_{0}, où \alpha_3, \alpha_2, \alpha_1 et \alpha_0 sont réels tels que \alpha_3 \neq 0.
On appelle z_1, z_2 et z_3 ses trois racines dans \mathbb{C}, éventuellement confondues.

1. Factoriser \text{P} en produit de facteurs de degré 1.

2. Montrer que z_{1}+z_{2}+z_{3}=-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{3}} et z_{1} z_{2} z_{3}=-\frac{\alpha_{0}}{\alpha_{3}}.

Partie B : Formules de Viète, cas \boldsymbol{n = 4}
On considère un polynôme \text{P} de degré 4 à coefficients réels défini dans \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=\alpha_{4} z^{4}+\alpha_{3} z^{3}+\alpha_{2} z^{2}+\alpha_{1} z+\alpha_{0}, où \alpha_4, \alpha_3, \alpha_2, \alpha_1 et \alpha_0 sont réels tels que \alpha_4 \neq 0.
On appelle z_1, z_2, z_3 et z_4 ses quatre racines dans \mathbb{C}, éventuellement confondues.
Montrer que z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=-\frac{\alpha_{3}}{\alpha_{4}} et z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}=\frac{\alpha_{0}}{\alpha_{4}}.

Partie C : Formules de Viète, cas général
Soient n un entier naturel non nul et \text{P} un polynôme de degré n à coefficients réels défini dans \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=\alpha_{n} z^{n}+\ldots+\alpha_{0}.
On admet qu'un tel polynôme admet nécessairement n racines z_{1} ; \ldots ; z_{n} (éventuellement confondues).

1. Justifier que, pour tout z \in \mathbb{C}, on a \mathrm{P}(z)=\alpha_{n}\left(z-z_{1}\right) \ldots\left(z-z_{n}\right).

2. Démontrer les formules de Viète explicitées dans le cours.

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149
Approfondissement
[Chercher, Communiquer.]
Résolution par radicaux des équations de degré 3

Partie A : Retour sur la méthode de Cardan
On considère l'équation (\mathrm{E}): x^{3}+p x=q où p et q sont réels.
On souhaite obtenir une méthode pour calculer une solution réelle x d'une équation de cette forme.
On cherche x sous la forme x = u + v avec u et v réels. 1. Montrer que si x = u + v, alors x^{3}=u^{3}+v^{3}+3 u \times v \times x.

2. En déduire que si on obtient des réels u et v tels que \left\{\begin{aligned} u^{3}+v^{3} &=q \\ u \times v &=-\frac{p}{3} \end{aligned}\right. alors x = u + v est une solution de (\mathrm{E}).

3. a. On pose s = u^3 et t = v^3.
Montrer que les systèmes \left\{\begin{aligned} u^{3}+v^{3} &=q \\ u \times v &=-\frac{p}{3} \end{aligned}\right. et \left\{\begin{aligned} s^{2}-q s-\frac{p^{3}}{27} &=0 \\ t &=q-s \end{aligned}\right. sont équivalents.

b. Expliquer comment obtenir une solution x cherchée.

4. Application : Avec la méthode de Cardan, trouver la solution réelle positive de l'équation x^{3}+24 x=56.

5. Peut‑on appliquer la méthode de Cardan à l'équation de Bombelli x^{3}-15 x-4=0 ? Justifier.

Partie B : Résolution d'une équation de degré 3
Soient a, b, c et d quatre nombres réels avec a \neq 0. On considère l'équation \left(\mathrm{E}^{\prime}\right): a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0.

1. On pose x=\mathrm{X}-\frac{b}{3 a}.
Montrer que résoudre l'équation (\mathrm{E}^{\prime}) équivaut à résoudre \mathrm{X}^{3}+p \mathrm{X}=0=q où p et q sont deux réels qu'on exprimera en fonction de a, b, c et d.

2. Application : En utilisant la question 1. puis la partie A (méthode de Cardan), résoudre l'équation x^{3}-2 x^{2}+x-2=0.

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150
Approfondissement
[Calculer, Raisonner.]
Partie A : Racine carrée d'un nombre complexe
Soit \alpha=a+\mathrm{i} b un nombre complexe, où a et b sont réels. On cherche à déterminer s'il existe un nombre complexe z tel que z^{2}=\alpha.
On pose z=x+\mathrm{i} y, où x et y sont deux réels.

1. Montrer que si z est une solution de l'équation z^{2}=\alpha, alors il en est de même de -z.

2. Montrer que z est solution de z^{2}=\alpha si, et seulement si, x et y vérifient le système suivant :

\left\{\begin{aligned} x^{2}-y^{2} &=a \\ 2 x y &=b \\ x^{2}+y^{2} &=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{aligned}\right..

3. a. Montrer que si b > 0, alors une solution de l'équation z^{2}=\alpha est donnée par

\sqrt{\frac{1}{2}(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}+\mathrm{i} \sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}.

Déterminer une deuxième solution de l'équation étudiée.

b. Montrer que si b \lt 0, alors une solution de l'équation z^{2}=\alpha est donnée par

\sqrt{\frac{1}{2}(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}-\mathrm{i} \sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}.

Déterminer une deuxième solution de l'équation dans ce cas.

4. À l'aide de la question 2., déterminer tous les nombres complexes z tels que :

a. z^{2}=2 \mathrm{i}

b. z^{2}=3-4 \mathrm{i}

Partie B : Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes
Soient a, b et c trois nombres complexes avec a \neq 0. On souhaite résoudre dans \mathbb{C} l'équation a z^{2}+b z+c=0.

1. Montrer que résoudre l'équation a z^{2}+b z+c=0 équivaut à résoudre l'équation a\left(z+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4 a}=0 en posant \Delta=b^{2}-4a c.

2. Soit \delta \in \mathbb{C} tel que \delta^{2}=\Delta.
Montrer que les solutions de l'équation a z^{2}+b z+c=0 sont données par \frac{-b-\delta}{2 a} et \frac{-b+\delta}{2 a}.

3. Application : Résoudre dans \mathbb{C} l'équation : z^{2}+(3 \mathrm{i}-4) z+1-7 \mathrm{i}=0.

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

p.238

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Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur

LLS.fr/GrandOralMaths

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Consigne générale

Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d'appui à des questions de Grand Oral. Voici un exemple, basé sur l'enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

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1. Sur la formule du binôme de Newton
Rappeler l'énoncé de la formule du binôme de Newton dans \mathbb{C}.
Démontrer cette formule en utilisant des arguments de dénombrement et de combinatoire.

2. Sur la résolution des équations du second degré
Rappeler une expression des solutions de l'équation à coefficients réels a z^{2}+b z+c=0 (a \neq 0) lorsque \Delta\lt0.
Ces résultats s'utilisent lors de l'étude de suites linéaires récurrentes d'ordre 2 (a u_{n+2}=b u_{n+1}+c u_{n}) et dans l'étude des équations différentielles linéaires d'ordre 2 (a f^{\prime \prime}+b f^{\prime}+c f=0).
Se renseigner sur ces méthodes de résolution et exposer un exemple au jury.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le

Grand Oral p. 244

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