137

[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme \text{P} à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{6}-1.
a. Factoriser l'expression u^3 - v^3 pour tous nombres complexes u et v.

b. En remarquant que z^{6}=\left(z^{2}\right)^{3}, déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout z \in \mathbb{C}, \mathrm{P}(z)=\left(z^{2}-1\right)\left(a z^{4}+b z^{2}+c\right).

2. a. Calculer \left(\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} et \left(\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

b. En déduire les six racines dans \mathbb{C} du polynôme \text{P}.

138

[Calculer, Raisonner.]
1. On considère l'équation du second degré à coefficients complexes :
a. Montrer que, pour tout nombre complexe z,

z^{2}-(6+2 \mathrm{i}) z=(z-(3+\mathrm{i}))^{2}-8-6 \mathrm{i}.

b. En déduire que l'équation (\mathrm{E}) équivaut à (z-(3+\mathrm{i}))^{2}=1.

c. Résoudre alors l'équation (\mathrm{E}) dans \mathbb{C}.

2. En appliquant une méthode analogue, résoudre dans \mathbb{C} l'équation du second degré à coefficients complexes :

\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): z^{2}+(2+4 \mathrm{i}) z+6+4 \mathrm{i}=0.

141

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}). On appelle \text{J} le point de coordonnées (0 ; 1).
À tout nombre complexe z \neq \mathrm{i}, on associe le nombre complexe z^{\prime}=\frac{\mathrm{i} z}{\mathrm{i}-z}.
On écrit z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} où x, y, x^\prime et y^\prime sont quatre nombres réels.
Soit \mathrm{M}(x ; y) un point du plan distinct de \text{J} et \mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) le point qui lui est associé par la transformation z \mapsto z^{\prime}.

1. Déterminer les éventuels points \mathrm{M}(x ; y) du plan pour lesquels \mathrm{M}^\prime et \text{M} sont confondus.

2. Déterminer les coordonnées du point \mathrm{I}^\prime associé au point \mathrm{I}(1 ; 0).

3. Déterminer les coordonnées du point\text{ A} tel que le point associé \mathrm{A}^\prime ait pour coordonnées (2 ; 0).

4. Déterminer une équation de l'ensemble \mathrm{E}_{1} des points \mathrm{M}(x ; y), distincts de \text{J}, tels que z^\prime soit un réel et préciser sa nature.

5. Déterminer une équation de l'ensemble \mathrm{E}_{2} des points \mathrm{M}(x ; y), distincts de \text{J}, tels que z^\prime soit un imaginaire pur et préciser sa nature.

142

Devoir maison

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
À tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe z^{\prime}=\frac{2 \mathrm{i}-z^{2}}{z \times \overline{z}+1}.
On écrit z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} où x, y, x^\prime et y^\prime sont quatre réels.
Soit \mathrm{M}(x ; y) un point du plan et \mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) le point qui lui est associé par la transformation z \mapsto z^{\prime}.

1. Justifier que le nombre complexe z^\prime est défini pour tout z \in \mathbb{C}.

2. Existe‑t‑il des valeurs de z telles que z^\prime soit égal à 1 ? Justifier.

3. a. Démontrer que z^\prime est réel si, et seulement si, (z-\overline{z})(z+\overline{z})=4 \mathrm{i}.

b. Déterminer l'ensemble \mathrm{E}_{1} des points \mathrm{M}(x ; y) tels que z^\prime soit un réel.

4. Déterminer l'ensemble \mathrm{E}_{2} des points \mathrm{M}(x ; y) tels que z^\prime soit un imaginaire pur.

143

[Chercher, Représenter.]
Équation à paramètre

On considère le polynôme \text{P} à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{2}-2 z+9.

1. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation \mathrm{P}(z)=6.

2. Soit m un réel. On considère l'équation (\mathrm{E}): \mathrm{P}(z)=m d'inconnue z dans \mathbb{C}.
Pour quelles valeurs de m l'équation (\mathrm{E}) admet‑elle deux solutions complexes conjuguées ? Justifier.

3. On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
On écrit z=x+\mathrm{i} y et z^{\prime}=\mathrm{P}(z)=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime} où x, y, x^{\prime} et y^{\prime} désignent quatre réels.
a. Exprimer la forme algébrique de \mathrm{P}(z) en fonction de x et y.

b. Déterminer l'ensemble\text{ E} des points \mathrm{M}(x ; y) tels que z^{\prime} soit un réel.

144

En électronique

[Calculer, Modéliser.]
On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.


Par exemple, l'impédance d'une résistance pure est représentée par le nombre réel \text{Z}_{\mathrm{R}}=\mathrm{R}. C'est le seul composant à avoir une impédance réelle, tandis que l'impédance d'une bobine d'inductance \text{L} est représentée par le nombre complexe \text{Z}_{\mathrm{L}}=\mathrm{iL} \omega où \omega désigne la pulsation du signal et dépend de l'intensité du courant présent dans le circuit.
Lorsqu'ils sont montés en parallèle, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique associé à l'impédance \text{Z} vérifiant \frac{1}{\mathrm{Z}}=\frac{1}{\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}}+\frac{1}{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}.
Donner la forme algébrique de l'impédance \text{Z} en fonction de \text{R}, de\text{ L} et de \omega.