Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Cours 2
Nombres complexes conjugués
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
ADéfinition et propriétés algébriques
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe noté \overline z défini par :
\overline{z}=\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Si z est un nombre complexe et si a et b sont les réels tels que z=a+\mathrm{i}b, alors \overline{z}=a-\mathrm{i} b.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemples
1. \overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}
2. Pour tout (a ; b) \in \mathbb{R}^{2}, \bar{a}=a et \overline{\mathrm{i} b}=-\mathrm{i} b.
3. Si z=3+2 \mathrm{i}, alors \overline{z}=3-2 \mathrm{i}.
2. Pour tout (a ; b) \in \mathbb{R}^{2}, \bar{a}=a et \overline{\mathrm{i} b}=-\mathrm{i} b.
3. Si z=3+2 \mathrm{i}, alors \overline{z}=3-2 \mathrm{i}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
En notant z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels, on a z \overline{z}=a^{2}+b^{2} \in \mathbb{R}^{+}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
Pour tout nombre complexe z, on a :
1. \overline{\overline{z}}=z ;
2. z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z) ;
3. z-\overline{z}=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z) ;
4. z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=z ;
5. z \in \mathrm{i} \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=-z ;
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}.
1. \overline{\overline{z}}=z ;
2. z+\overline{z}=2 \operatorname{Re}(z) ;
3. z-\overline{z}=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z) ;
4. z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=z ;
5. z \in \mathrm{i} \mathbb{R} \Leftrightarrow \overline{z}=-z ;
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z))^{2}+(\operatorname{Im}(z))^{2}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Soient z un nombre complexe et a et b les deux réels tels que z=a+\mathrm{i} b.
1. \overline{\overline{z}}=\overline{\overline{a+\mathrm{i} b}}=\overline{a-\mathrm{i} b}=a-(-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b=z.
2. z+\overline{z}=a+\mathrm{i} b+a-\mathrm{i} b=2 a=2 \operatorname{Re}(z).
3. z-\overline{z}=a+\mathrm{i} b-(a-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b-a+\mathrm{i} b=2 \mathrm{i} b=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
4. \overline{z}=z \Leftrightarrow z-\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z)=0 \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z)=0 (car 2 \mathrm{i} \neq 0). D'où z=\overline{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}.
5. \overline{z}=-z \Leftrightarrow z+\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \operatorname{Re}(z)=0 \Leftrightarrow z \in \mathrm{i} \mathbb{R}.
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z)+\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))(\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}.
1. \overline{\overline{z}}=\overline{\overline{a+\mathrm{i} b}}=\overline{a-\mathrm{i} b}=a-(-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b=z.
2. z+\overline{z}=a+\mathrm{i} b+a-\mathrm{i} b=2 a=2 \operatorname{Re}(z).
3. z-\overline{z}=a+\mathrm{i} b-(a-\mathrm{i} b)=a+\mathrm{i} b-a+\mathrm{i} b=2 \mathrm{i} b=2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z).
4. \overline{z}=z \Leftrightarrow z-\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \mathrm{i} \times \operatorname{Im}(z)=0 \Leftrightarrow \operatorname{Im}(z)=0 (car 2 \mathrm{i} \neq 0). D'où z=\overline{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}.
5. \overline{z}=-z \Leftrightarrow z+\overline{z}=0 \Leftrightarrow 2 \operatorname{Re}(z)=0 \Leftrightarrow z \in \mathrm{i} \mathbb{R}.
6. z \times \overline{z}=(\operatorname{Re}(z)+\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))(\operatorname{Re}(z)-\mathrm{i} \operatorname{Im}(z))=\operatorname{Re}(z)^{2}+\operatorname{Im}(z)^{2}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 3
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Résoudre dans \mathbb{C} les équations suivantes.
1. 2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z}
2. 2 z+\mathrm{i} \overline{z}=5-2 \mathrm{i}
1. 2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z}
2. 2 z+\mathrm{i} \overline{z}=5-2 \mathrm{i}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1. Pour les équations où \overline{z} intervient seul, on résout de la même manière que pour les équations du premier degré dans \mathbb{R} en isolant \overline{z}.
On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour conclure.
2. Pour les équations où z et \overline{z} interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..
On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour conclure.
2. Pour les équations où z et \overline{z} interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. 2 \overline{z}+5-2 \mathrm{i}=4+\mathrm{i}+3 \overline{z} \Leftrightarrow \overline{z}=1-3 \mathrm{i} \Leftrightarrow z=1+3 \mathrm{i}
2. On pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels.
On a ainsi \overline{z}=a-\mathrm{i} b. L'équation s'écrit alors :
2(a+\mathrm{i} b)+\mathrm{i}(a-\mathrm{i} b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow 2 a+b+\mathrm{i}(a+2 b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a+b=5 \\ a+2 b=-2\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=-3\end{array}\right.
\Leftrightarrow z=4-3 \mathrm{i}.
2. On pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels.
On a ainsi \overline{z}=a-\mathrm{i} b. L'équation s'écrit alors :
2(a+\mathrm{i} b)+\mathrm{i}(a-\mathrm{i} b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow 2 a+b+\mathrm{i}(a+2 b)=5-2 \mathrm{i}
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a+b=5 \\ a+2 b=-2\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=-3\end{array}\right.
\Leftrightarrow z=4-3 \mathrm{i}.
Pour s'entraîner
Exercices p. 34 et p. 35
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
BInverse et quotient
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Soit z=a+\mathrm{i} b un nombre complexe non nul.
L'inverse de \boldsymbol{z} est le nombre complexe z^{\prime} tel que z z^{\prime}=1 et on le note \frac{1}{z}. On a alors : \frac{1}{z}=\frac{1}{a+\mathrm{i} b}=\frac{a-\mathrm{i} b}{(a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)}=\frac{a-\mathrm{i} b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{a^{2}+b^{2}}.
L'inverse de \boldsymbol{z} est le nombre complexe z^{\prime} tel que z z^{\prime}=1 et on le note \frac{1}{z}. On a alors : \frac{1}{z}=\frac{1}{a+\mathrm{i} b}=\frac{a-\mathrm{i} b}{(a+\mathrm{i} b)(a-\mathrm{i} b)}=\frac{a-\mathrm{i} b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{a^{2}+b^{2}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemples
1. \frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}
2. \frac{1}{1+2 \mathrm{i}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5} \mathrm{i}
2. \frac{1}{1+2 \mathrm{i}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{1^{2}+2^{2}}=\frac{1-2 \mathrm{i}}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5} \mathrm{i}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
L'égalité \frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i} est souvent utilisée pour simplifier des quotients dont le dénominateur est un imaginaire pur.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Soient z=a+\mathrm{i} b et z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes avec z^{\prime} \neq 0.
Le quotient de \boldsymbol{z} par \boldsymbol{z^{\prime}} est le nombre complexe noté \frac{z}{z^{\prime}} tel que \frac{z}{z^{\prime}}=z \times \frac{1}{z^{\prime}}. On a : \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{a+\mathrm{i} b}{a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}}=\frac{(a+\mathrm{i} b)\left(a^{\prime}-\mathrm{i} b^{\prime}\right)}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}=\frac{\mathrm{z} \times \overline{\mathrm{z}^{\prime}}}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}.
Le quotient de \boldsymbol{z} par \boldsymbol{z^{\prime}} est le nombre complexe noté \frac{z}{z^{\prime}} tel que \frac{z}{z^{\prime}}=z \times \frac{1}{z^{\prime}}. On a : \frac{z}{z^{\prime}}=\frac{a+\mathrm{i} b}{a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}}=\frac{(a+\mathrm{i} b)\left(a^{\prime}-\mathrm{i} b^{\prime}\right)}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}=\frac{\mathrm{z} \times \overline{\mathrm{z}^{\prime}}}{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe \frac{z}{z^{\prime}}, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \overline{z^{\prime}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
\frac{1+\mathrm{i}}{2 \mathrm{i}-3}=\frac{1+\mathrm{i}}{-3+2 \mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i})(-3-2 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+2^{2}}=\frac{-3+2+\mathrm{i}(-2-3)}{13}=\frac{-1-5 \mathrm{i}}{13}=-\frac{1}{13}-\frac{5}{13} \mathrm{i}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 4
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Résoudre dans \mathbb{C} les équations suivantes.
1. (1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i}
2. (3+ \mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0
3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
1. (1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i}
2. (3+ \mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0
3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1. Pour les équations où z intervient seul, on se ramène à une équation de la forme az=b avec a et b complexes, puis on calcule z=\frac{b}{a} lorsque a \neq 0.
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe écrit sous la forme d'un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
2. On procède de même si \overline z intervient seul. On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour obtenir la solution cherchée.
3. Pour les équations où z et \overline z interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..
Pour déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe écrit sous la forme d'un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
2. On procède de même si \overline z intervient seul. On utilise ensuite \overline{\overline{z}}=z pour obtenir la solution cherchée.
3. Pour les équations où z et \overline z interviennent simultanément, on pose z=a+\mathrm{i} b avec a et b réels et on utilise z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \\ \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\end{array}\right..
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. (1+2 \mathrm{i}) z=3+\mathrm{i} \Leftrightarrow z=\frac{3+\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}} \Leftrightarrow z=\frac{(3+\mathrm{i})(1-2 \mathrm{i})}{1^{2}+2^{2}} \Leftrightarrow z=\frac{5-5 \mathrm{i}}{5} \Leftrightarrow z=1-\mathrm{i}
2. (3+\mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0 \Leftrightarrow(3+\mathrm{i}) \overline{z}=2-4 \mathrm{i}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-4 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{(2-4 \mathrm{i})(3-\mathrm{i})}{3^{2}+1^{2}}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{6-4+\mathrm{i}(-2-12)}{10} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-14 \mathrm{i}}{10}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{1}{5}-\frac{7}{5} \mathrm{i} \Leftrightarrow z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5} \mathrm{i}
3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
On pose z=a+\mathrm{i} b. On a donc \overline{z}=a-\mathrm{i} b.
L'équation s'écrit alors :
(1+\mathrm{i})(a+\mathrm{i} b)+(3-\mathrm{i})(a-\mathrm{i} b)=2-6\mathrm{i}
\Leftrightarrow(a-b)+\mathrm{i}(b+a)+(3 a-b)+\mathrm{i}(-3 b-a)=2-6 \mathrm{i}
\Leftrightarrow(4 a-2 b)-2 \mathrm{i} b=2-6 \mathrm{i} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}4 a-2 b=2 \\ -2 b=-6\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3\end{array} \Leftrightarrow z=2+3 \mathrm{i}\right..
2. (3+\mathrm{i}) \overline{z}-2+4 \mathrm{i}=0 \Leftrightarrow(3+\mathrm{i}) \overline{z}=2-4 \mathrm{i}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-4 \mathrm{i}}{3+\mathrm{i}} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{(2-4 \mathrm{i})(3-\mathrm{i})}{3^{2}+1^{2}}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{6-4+\mathrm{i}(-2-12)}{10} \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{2-14 \mathrm{i}}{10}
\Leftrightarrow \overline{z}=\frac{1}{5}-\frac{7}{5} \mathrm{i} \Leftrightarrow z=\frac{1}{5}+\frac{7}{5} \mathrm{i}
3. (1+\mathrm{i}) z+(3-\mathrm{i}) \overline{z}=2-6 \mathrm{i}
On pose z=a+\mathrm{i} b. On a donc \overline{z}=a-\mathrm{i} b.
L'équation s'écrit alors :
(1+\mathrm{i})(a+\mathrm{i} b)+(3-\mathrm{i})(a-\mathrm{i} b)=2-6\mathrm{i}
\Leftrightarrow(a-b)+\mathrm{i}(b+a)+(3 a-b)+\mathrm{i}(-3 b-a)=2-6 \mathrm{i}
\Leftrightarrow(4 a-2 b)-2 \mathrm{i} b=2-6 \mathrm{i} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}4 a-2 b=2 \\ -2 b=-6\end{array}\right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=3\end{array} \Leftrightarrow z=2+3 \mathrm{i}\right..
Pour s'entraîner
Exercices p. 35
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
CConjugués et opérations
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
Pour tous nombres complexes z et z^\prime et pour tout entier relatif n, on a :
1. \overline{z+z^{\prime}}=\overline{z}+\overline{z^{\prime}} ;
2. \overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ;
3. Si z \neq 0, alors \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} ;
4. Si z^\prime \neq 0, alors\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ;
5. \overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n} (avec z \neq 0 et si n\lt0).
1. \overline{z+z^{\prime}}=\overline{z}+\overline{z^{\prime}} ;
2. \overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ;
3. Si z \neq 0, alors \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} ;
4. Si z^\prime \neq 0, alors\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ;
5. \overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n} (avec z \neq 0 et si n\lt0).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Ces propriétés traduisent la compatibilité de la conjugaison avec les opérations dans \mathbb{C}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Soient z=a+\mathrm{i} b et z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime} deux nombres complexes avec a, b, a^{\prime} et b^{\prime} réels.
1. et 2. : Voir exercice p. 39.
3. Soit z \neq 0. Dans ce cas, on a également \overline{z} \neq 0.
Par définition des inverses, on a z \times \frac{1}{z}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(z \times \frac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1 car 1 est réel.
D'après 2., on obtient \overline{z} \times \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} car \overline{z} \neq 0.
D'où l'égalité, pour tout z \in \mathbb{C}^{*}, \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}.
4. Voir exercice p. 39.
5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour n entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour n entier négatif. Voir exercice p. 39.
1. et 2. : Voir exercice p. 39.
3. Soit z \neq 0. Dans ce cas, on a également \overline{z} \neq 0.
Par définition des inverses, on a z \times \frac{1}{z}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(z \times \frac{1}{z}\right)}=\overline{1}=1 car 1 est réel.
D'après 2., on obtient \overline{z} \times \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=1 \Leftrightarrow \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}} car \overline{z} \neq 0.
D'où l'égalité, pour tout z \in \mathbb{C}^{*}, \overline{\left(\frac{1}{z}\right)}=\frac{1}{\overline{z}}.
4. Voir exercice p. 39.
5. Dans un premier temps, on démontre la propriété par récurrence pour n entier naturel. Dans un deuxième temps, on démontre la propriété pour n entier négatif. Voir exercice p. 39.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemples
1. z_{1}=\overline{(1-2 \mathrm{i})(2+3 \mathrm{i})}=\overline{(1-2 \mathrm{i})} \times \overline{(2+3 \mathrm{i})}=(1+2 \mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})=2+6+\mathrm{i}(-3+4)=8+\mathrm{i}
2. z_{2}=\overline{\left(\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}=\frac{\overline{\mathrm{i}}}{\overline{1+\mathrm{i}}}=\frac{-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{-\mathrm{i}+1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}
3. z_{3}=\overline{\left(\mathrm{i}^{3}\right)}=\left(\overline{\mathrm{i}}\right)^{3}=(-\mathrm{i})^{3}=\mathrm{i}
2. z_{2}=\overline{\left(\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}=\frac{\overline{\mathrm{i}}}{\overline{1+\mathrm{i}}}=\frac{-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{1^{2}+(-1)^{2}}=\frac{-\mathrm{i}+1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}
3. z_{3}=\overline{\left(\mathrm{i}^{3}\right)}=\left(\overline{\mathrm{i}}\right)^{3}=(-\mathrm{i})^{3}=\mathrm{i}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 5
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Calculer sous forme algébrique le conjugué de z=\frac{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2 \mathrm{i})^{2}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
- On utilise les propriétés de la conjugaison :
\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime}}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}} ; \overline{\left(z z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}} ; \overline{\left(z^{n}\right)}=(\overline{z})^{n}. - On applique les propriétés de distributivité pour réduire le numérateur et le dénominateur.
- On obtient la forme algébrique de z en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
\overline{z}=\overline{\left(\frac{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+2 \mathrm{i})^{2}}\right)}=\frac{\overline{(3+2 \mathrm{i})(1-\mathrm{i})}}{\overline{(1+2 \mathrm{i})^{2}}}
\overline{z}=\frac{(3-2 \mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-2 \mathrm{i})^{2}}=\frac{3+2+\mathrm{i}(3-2)}{1-4-4 \mathrm{i}}=\frac{5+\mathrm{i}}{-3-4 \mathrm{i}}
\overline{z}=\frac{(5+\mathrm{i})(-3+4 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\frac{-15-4+\mathrm{i}(20-3)}{25}
\overline{z}=\frac{-19+17 \mathrm{i}}{25}=-\frac{19}{25}+\frac{17}{25} \mathrm{i}
\overline{z}=\frac{(3-2 \mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-2 \mathrm{i})^{2}}=\frac{3+2+\mathrm{i}(3-2)}{1-4-4 \mathrm{i}}=\frac{5+\mathrm{i}}{-3-4 \mathrm{i}}
\overline{z}=\frac{(5+\mathrm{i})(-3+4 \mathrm{i})}{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\frac{-15-4+\mathrm{i}(20-3)}{25}
\overline{z}=\frac{-19+17 \mathrm{i}}{25}=-\frac{19}{25}+\frac{17}{25} \mathrm{i}
Pour s'entra îner
Exercices ; et p. 35.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah