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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Continuité
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Capacités attendues
1. Comprendre et utiliser la définition de la continuité d'une fonction.
2. Connaître et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et un de ses corollaires.
3. Étudier les solutions d'une équation du type f(x)=k : existence, unicité, encadrement.
4. Pour une fonction f continue d'un intervalle dans lui‑même, étudier une suite définie par une relation de récurrence u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).
2. Connaître et utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et un de ses corollaires.
3. Étudier les solutions d'une équation du type f(x)=k : existence, unicité, encadrement.
4. Pour une fonction f continue d'un intervalle dans lui‑même, étudier une suite définie par une relation de récurrence u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).
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L'électrocardiogramme est le tracé papier de l'activité électrique du cœur suivant différents canaux. On peut considérer que cette activité électrique est une fonction du temps. Les irrégularités et discontinuités de l'électrocardiogramme peuvent permettre aux cardiologues de repérer des anomalies.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Connaître et manipuler les fonctions de références.
2. Calculer des dérivées.
3. Obtenir un sens de variation à partir de la dérivée.
4. Calculer la limite d'une fonction.
5. Connaître et manipuler les suites.
2. Calculer des dérivées.
3. Obtenir un sens de variation à partir de la dérivée.
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5. Connaître et manipuler les suites.
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Jusqu'au XIXe siècle, les mathématiciens pensaient que les fonctions continues étaient aussi dérivables, sauf peut‑être en de rares points. Le mathématicien et logicien Pragois Bernard Bolzano (1781‑1848) a donné vers 1833 le premier exemple d'une fonction continue partout mais dérivable nulle part !
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1
Connaître la fonction exponentielle
1. Dresser le tableau de variations de la fonction exponentielle.
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2. Préciser les limites aux bornes de son ensemble de définition.
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2
Calculer des dérivées
Dans chaque cas, déterminer l'ensemble de dérivabilité et la dérivée de la fonction définie sur \text{I}.
1. f(x)=x^{2}+2 x-1, \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. g(x)=x \sqrt{x}, \mathrm{I}=[0\,;+\infty[
2. g(x)=x \sqrt{x}, \mathrm{I}=[0\,;+\infty[
3. h(x)=\mathrm{e}^{3 x}, \mathrm{I}=\mathbb{R}
4. \ell(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}, \mathrm{I}=]-1 \,;+\infty[
4. \ell(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}, \mathrm{I}=]-1 \,;+\infty[
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3
Étudier les variations sans dérivation
Soit f: x \mapsto x^{2}+3 x+1 une fonction définie sur \mathbb{R}.
Étudier les variations de f sans calculer sa dérivée.Ressource affichée de l'autre côté.
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4
Étudier une fonction
Soit f: x \mapsto x \mathrm{e}^{x} une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}.
1. Déterminer une expression de la dérivée f^\prime de f.
2. Étudier les variations de f sur \mathbb{R}.
2. Étudier les variations de f sur \mathbb{R}.
3. À l'aide de la calculatrice, tracer la courbe représentative de f.
GeoGebra
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5
Calculer des limites simples
Déterminer les limites suivantes.
1. \lim\limits_{\substack{x \to 2}} \sqrt{x+7}2. \lim\limits_{\substack{x \to 5}} \mathrm{e}^{2 x-5}
3. \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \frac{1}{x}
4. \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x\lt0}} \frac{1}{x}
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6
Calculer des limites de fonctions
Soient f, g et h les fonctions définies sur leur ensemble de définition par f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x}, g(x)=\frac{x^{3}}{3 x-2} et h(x)=\mathrm{e}^{x+1}.
1. Calculer les limites de f, g et h en +\infty.2. Calculer les limites de f, g et h en -\infty.
3. Calculer \lim \limits_{\substack{x \rightarrow \normalsize{\tfrac{2}{3}} \\ x\lt \normalsize{\tfrac{2}{3}}}} g(x).
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7
Valider ou rejeter une affirmation
Donner la (ou les) bonne(s) réponse(s) en justifiant.
1. La fonction exponentielle est :
2. Pour tout x \in \mathbb{R}, la dérivée de x \mapsto \mathrm{e}^{a x+b} où a et b sont réels est :
2. Pour tout x \in \mathbb{R}, la dérivée de x \mapsto \mathrm{e}^{a x+b} où a et b sont réels est :
3. L'inéquation \left(\mathrm{e}^{x}+1\right)\left(\mathrm{e}^{x}-1\right) \geqslant 0 a pour ensemble de solutions :
4. Soit (u_n) une suite telle que, pour tout entier n, 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 2.
4. Soit (u_n) une suite telle que, pour tout entier n, 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 2.
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8
Problème
Soit (u_n) la suite définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par : \left\{\begin{aligned}u_{0}&=8 \\ u_{n+1}&=\sqrt{2 u_{n}}\end{aligned}\right.
1. Calculer u_1 et u_2.
2. Montrer par récurrence sur n que, pour tout n \in \mathbb{N}, 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 8.
3. Que peut‑on dire de la convergence de (u_n) ?
3. Que peut‑on dire de la convergence de (u_n) ?
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