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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Entraînement 3
Application aux suites
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74
Flash
Soient f une fonction continue sur \mathbb{R} et (u_n) une suite numérique réelle.
Si \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}=5 et \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 5}} f(x)=10, que vaut \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} f\left(u_{n}\right) ?
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75
Flash
Soit la fonction f: x \mapsto \sqrt{10-x^{2}} définie sur \mathrm{I}=\left[0\,;\sqrt{10}\right]. On admet que f est continue et décroissante de \text{I} dans \text{I}. (u_n) est la suite définie par u_0=3 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).
1. Si (u_n) converge vers \ell, quelle équation \ell doit‑il vérifier ?
2. Résoudre cette équation.
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76
Démo
[Raisonner.]Soient f une fonction continue sur \text{I}, (u_n) une suite d'éléments de \text{I} et v_{n}=f\left(u_{n}\right).
1. Montrer que si \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}=a et si \lim \limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=b, alors \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} v_{n}=b.
2. Quel lien peut‑on alors faire entre la limite de (u_n) et celle de f ?
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77
[Raisonner.]
Soit (u_n) la suite définie par u_{0}=\pi et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sin \left(\frac{u_{n}}{2}\right).
1. Montrer par récurrence que, pour tout n \in \mathbb{N}, 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant \pi.
Aide
Quelles sont les variations de la fonction sinus sur \left[0\,; \frac{\pi}{2}\right] ?
2. Montrer que l'équation \sin \left(\frac{x}{2}\right)=x possède une unique solution sur [0\,; \pi] dont on précisera la valeur.
3. Étudier la convergence de (u_n).
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78
[Raisonner.]
Soient f la fonction continue et définie sur \mathbb{R} par f(x)=\sqrt{x^{2}-x+1} et (u_n) la suite définie par \left\{\begin{aligned}u_{0}&=2 \\ u_{n+1}&=f\left(u_{n}\right)\end{aligned}\right. pour tout n \in \mathbb{N}.
1. Étudier les variations de f.
1. Étudier les variations de f.
GeoGebra
2. Résoudre l'équation f(x) = x.
3. a. Montrer, par récurrence, que (u_n) est une suite positive et décroissante.
b. Déterminer alors \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}.
3. a. Montrer, par récurrence, que (u_n) est une suite positive et décroissante.
b. Déterminer alors \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}.
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[Raisonner.]
Soient f la fonction continue et définie sur [-6\,;+\infty[ par f(x)=\sqrt{6+x}.
Soit (u_n) la suite définie par \left\{\begin{aligned}u_{0}&=0 \\ u_{n+1}&=f\left(u_{n}\right)\end{aligned}\right. pour tout n \in \mathbb{N}.
1. Montrer par récurrence que (u_n) est une suite croissante, majorée par 3.
2. Que peut‑on dire de la convergence de la suite ?
3. Déterminer alors \lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} u_{n}.
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80
[Raisonner.]
Soit (u_n) la suite définie par u_0=4 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{u_{n}^{2}}{5}.
1. Déterminer la fonction f telle que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).
2. Étudier les variations de f.
1. Déterminer la fonction f telle que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).
2. Étudier les variations de f.
GeoGebra
3. Résoudre l'équation f(x) = x.
4. Montrer par récurrence que (u_n) est décroissante.
5. Montrer que (u_n) converge et déterminer sa limite.
4. Montrer par récurrence que (u_n) est décroissante.
5. Montrer que (u_n) converge et déterminer sa limite.
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81
[Raisonner.]
Soit (u_n) la suite définie par :
1. Étudier les variations de la fonction f: x \mapsto 3-\frac{x+1}{\mathrm{e}^{x}} pour x \in[0 ;+\infty[.
\left\{\begin{aligned} u_{0} &=1 \\ u_{n+1} &=3-\frac{u_{n}+1}{\mathrm{e}^{u_{n}}} \end{aligned}\right. pour tout n \in \mathbb{N}.
1. Étudier les variations de la fonction f: x \mapsto 3-\frac{x+1}{\mathrm{e}^{x}} pour x \in[0 ;+\infty[.
GeoGebra
2. Montrer que l'équation f(x)=x une unique solution \alpha sur [0 ;+\infty[.
3. Déterminer, en utilisant la méthode par balayage, un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.
4. Montrer, par récurrence sur n, que (u_n) est croissante et majorée par \alpha.
5. Justifier que la suite (u_n) converge et déterminer sa limite.
3. Déterminer, en utilisant la méthode par balayage, un encadrement de \alpha à 10^{-2} près.
4. Montrer, par récurrence sur n, que (u_n) est croissante et majorée par \alpha.
5. Justifier que la suite (u_n) converge et déterminer sa limite.
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