19
La proposition suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier. « Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. » La réciproque est‑elle vraie ?

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20
Soit f une fonction continue sur \mathbb{R} dont voici le tableau de variations.

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Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 sur \mathbb{R}.

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21
En utilisant le tableau de variations de l'exercice 20, quel est le nombre de solutions réelles de : 1. f(x)=3 ?

2. f(x)=-1 ?

3. f(x)=-5 ?

4. f(x)=2 ?

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22
Soit f une fonction continue sur [0\,;5] dont voici le tableau de variations.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 22

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Quel est le nombre exact de solutions de l'équation f(x) = 1 sur [0\,;5] ? Justifier.

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Démontrer la continuité

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23
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+5 & \text { si } x \leqslant 2 \\ 7 & \text { si } x>2\end{array}\right..

f est‑elle continue en 2 ? Justifier.

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24
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}2 x+5 & \text { si } x \leqslant 3 \\ -x+14 & \text { si } x>3\end{array}\right..

f est‑elle continue en 3 ? Justifier.

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25
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+x & \text { si } x>0 \\ x+1 & \text { si } x \leqslant 0\end{array}\right..

f est‑elle continue en 0 ? Justifier.

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26
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & \text { si } x \leqslant 1 \\ -x^{3}+2 & \text { si } x>1\end{array}\right..

1. f est‑elle continue en 1 ? Justifier.

2. f est‑elle continue sur \mathbb{R} ? Justifier.

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27
Soit f: x \mapsto\left\{\begin{aligned}\mathrm{e}^{3 x}+1 &\text { si } x \leqslant 0 \\ \sqrt{2+x} &\text { si } x>0\end{aligned}\right.. 1. f est‑elle continue en 0 ? Justifier.

2. f est‑elle continue sur \mathbb{R} ? Justifier.

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28
Soit une fonction f définie sur \mathbb{R}^{+} par f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+3\right) \sqrt{x}. Justifier que f est continue sur \mathbb{R}^{+}.

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Théorème des valeurs intermédiaires

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29
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=x^{3}-x-1.

1. L'équation f(x) = 0 admet‑elle au moins une solution sur [0 ; 3] ? Justifier.

2. Même question sur l'intervalle [1 ; 3].

3. Même question sur l'intervalle [0 ; 1].

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30
Soit f: x \mapsto \mathrm{e}^{x} définie sur \mathbb{R}. 1. Pour quelles valeurs de k l'équation f(x) = k admet‑elle au moins une solution réelle ?

2. Pour quelles valeurs de k l'équation f(x) = k n'admet‑elle aucune solution réelle ?

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31
L'équation \mathrm{e}^{3 x+1}=3 x admet‑elle au moins une solution réelle ? Justifier.

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Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

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Pour les exercices
32
à
34

La fonction f est continue sur \mathbb{R} avec le tableau de variations suivant.

maths spé - chapitre 6 - continuité - exercice 32 à 34

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32
1. L'équation f(x) = -4 admet‑elle au moins une solution sur ]-\infty\,;4] ? Sur [4\,;+\infty[ ? Justifier.

2. Mêmes questions pour l'équation f(x) = 3.

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33
L'équation f(x) = 0 admet‑elle une unique solution sur ]-\infty\,;4] ? Justifier.

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34
L'équation f(x) = -6 admet‑elle une unique solution sur [4\,;+\infty] ? Sur \mathbb{R} ? Justifier.

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Pour les exercices
35
à
37

La fonction f est continue sur \mathbb{R} avec le tableau de variations suivant.

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35
L'équation f(x) = 0 admet‑elle au moins une solution sur ]-\infty\,;1] ? Sur [1\,;+\infty[ ? Justifier.

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36
Quel est le nombre exact de solutions de l'équation f(x) = 5 sur \mathbb{R} ? De f(x)=-5 ? Justifier.

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37
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1. 1. Déterminer les variations de f sur \mathbb{R}.

2. Justifier alors que f(x) = 2 admet trois solutions sur [-4\,;4].

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38
Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x)=x^{3}+3 x-5. 1. Justifier que l'équation h(x) = 0 n'admet qu'une seule solution sur \mathbb{R}.

2. Déterminer une valeur approchée à 10^{-2} près de cette solution.

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Application aux suites

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39
On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 4 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{6}{u_{n}+1}. 1. Déterminer la fonction f telle que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

2. Vérifier que si x \in[0\,;6], alors f(x) \in[0\,;6].

3. On admet que la suite (u_n) converge vers un réel \ell \in[0\,;6]. Déterminer la valeur de \ell.

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40
On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 2 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+4}. 1. Déterminer la fonction f telle que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

2. Vérifier que si x \in[2\,;5], alors f(x) \in[2\,;5].

3. On admet que la suite (u_n) converge vers un réel \ell \in[2\,;5]. Déterminer la valeur de \ell.

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Pour les exercices
41
à
43

f est une fonction définie sur un intervalle \text{I} et (u_n) désigne une suite définie par récurrence par u_{n+1}=f\left(u_{n}\right). On admet que (u_n) converge vers un réel \ell. Dans chaque cas, déterminer les valeurs possibles de \ell pour la fonction f et l'intervalle \text{I} donnés.

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41
f: x \mapsto x^{2} et \mathrm{I}=[0\,;1].

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42
f: x \mapsto \frac{1}{1+x} et \mathrm{I}=]-1\,;+\infty[.

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43
f: x \mapsto \mathrm{e}^{1-x} et \mathrm{I}=[0\,;\mathrm{e}].

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Exercices inversés

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44
On a \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x \lt 2}} f(x)=4, \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=8 et f(2)=6 donc f n'est pas continue en 2. Donner un exemple de fonction f correspondant aux limites citées ci‑dessus.

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45
On écrit : « Sur ]-\infty\,;-2], le maximum de f vaut 5 donc l'équation n'admet pas de solution. Sur [-2\,;+\infty[, f est continue et strictement croissante donc prend une unique fois chaque valeur comprise entre 2 et +\infty donc l'équation admet une unique solution. » Donner une équation possible en lien avec cet exercice et proposer un tableau de variations de la fonction f.

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