Voir exercice

96

p. 209.

f est continue sur \mathbb{R} donc sur [0\,;1] comme somme de fonctions continues sur \mathbb{R}. Or f(0)=1 et f(1)=1+\mathrm{e}^{3}. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout k appartenant à l'intervalle \left[1\,;1+\mathrm{e}^{3}\right], l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [0\,;1].

Exercices

29

et

30

p. 202

Voir exercice

73

p. 206.

Soit la fonction f: x \mapsto x^{3}-3 x^{2}-1 définie sur \mathbb{R}. Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x) = 4 sur \mathbb{R} ?

• On détermine f^\prime et son signe.
• On dresse le tableau de variations de f.
• On se sert des extremums pour localiser les intervalles où peuvent se trouver les solutions.
• On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur ces intervalles.

f est une fonction polynôme, elle est donc continue sur \mathbb{R}.
Pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x=3 x(x-2).


Sur ]-\infty\,;2], le maximum de f vaut -1 donc f(x) = 4 n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur [2\,;+\infty[, f est continue et strictement croissante. 4 \in[-5\,;+\infty[ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci‑dessus, il existe un unique a \in[2\,;+\infty[ tel que f(a) = 4.
Donc l'équation f(x) = 4 n'admet qu'une seule solution sur \mathbb{R}.

Exercices

37

et

38

p. 203