Mathématiques Terminale Spécialité
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Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Cours 2
Le théorème des valeurs intermédiaires
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ACas général
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Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur [a\,;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a\,;b].
Autrement dit, tout réel k compris entre f(a) et f(b) admet au moins un antécédent par f dans [a\,;b].
Autrement dit, tout réel k compris entre f(a) et f(b) admet au moins un antécédent par f dans [a\,;b].
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On peut aussi utiliser des limites si f n'est pas définie en a ou b ou bien encore des limites en -\infty ou en +\infty.
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Le théorème des valeurs intermédiaires indique s'il existe une solution. Il ne
permet pas un calcul effectif de celle‑ci.
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Démonstration
Voir exercice p. 209.
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Application et méthode - 3
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Énoncé
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f: x \mapsto \mathrm{e}^{3 x}+x.
Montrer que, pour tout k \in\left[1\,;1+\mathrm{e}^{3}\right], l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [0\,;1].
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- Vérifier d'abord que la fonction est continue sur l'intervalle considéré.
- Calculer f(a) puis f(b).
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
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Solution
f est continue sur \mathbb{R} donc sur [0\,;1] comme somme de fonctions continues sur \mathbb{R}. Or f(0)=1 et f(1)=1+\mathrm{e}^{3}. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout k appartenant à l'intervalle \left[1\,;1+\mathrm{e}^{3}\right], l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [0\,;1].
Pour s'entraîner
Exercices et p. 202
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BCas des fonctions strictement monotones
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Corollaire
Si f est continue et strictement monotone sur [a\,;b] alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a\,;b].
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On peut aussi étendre ce corollaire aux intervalles ouverts en utilisant les limites.
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Démonstration
Voir exercice p. 206.
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Application et méthode - 4
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Énoncé
Soit la fonction f: x \mapsto x^{3}-3 x^{2}-1 définie sur \mathbb{R}.
Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x) = 4 sur \mathbb{R} ?
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- On détermine f^\prime et son signe.
- On dresse le tableau de variations de f.
- On se sert des extremums pour localiser les intervalles où peuvent se trouver les solutions.
- On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur ces intervalles.
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Solution
f est une fonction polynôme, elle est donc continue sur \mathbb{R}.
Pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x=3 x(x-2).
Sur ]-\infty\,;2], le maximum de f vaut -1 donc f(x) = 4 n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur [2\,;+\infty[, f est continue et strictement croissante. 4 \in[-5\,;+\infty[ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci‑dessus, il existe un unique a \in[2\,;+\infty[ tel que f(a) = 4.
Donc l'équation f(x) = 4 n'admet qu'une seule solution sur \mathbb{R}.
Pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x=3 x(x-2).
Sur ]-\infty\,;2], le maximum de f vaut -1 donc f(x) = 4 n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur [2\,;+\infty[, f est continue et strictement croissante. 4 \in[-5\,;+\infty[ donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci‑dessus, il existe un unique a \in[2\,;+\infty[ tel que f(a) = 4.
Donc l'équation f(x) = 4 n'admet qu'une seule solution sur \mathbb{R}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 203
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