Voir exercice

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p. 206.

Si f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=(x+1)^{2} et (u_n) la suite définie, pour tout n \in \mathbb{N}, par u_{n}=2+\frac{1}{n+1}, alors \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=2 donc \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} f\left(u_{n}\right)=f(2)=(2+1)^{2}=9.

On considère une fonction f définie et continue sur un intervalle \text{I} et à valeurs dans \text{I}. Soit (u_n) une suite d'éléments de \text{I} convergeant vers un réel \ell \in \mathrm{I}.
On sait que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n+1}=\ell.
Or, d'après la propriété précédente, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n+1}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} f\left(u_{n}\right)=f\left(\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}\right)=f(\ell) d'où \ell=f(\ell).

u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) avec f(x)=\frac{3}{x+1} sur \mathrm{I}=[0\,;3]. f est continue sur \text{I} comme inverse d'une fonction continue ne s'annulant pas sur \text{I}.
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur ] 0\,;+\infty[, pour tout x \in \mathrm{I}, f(x) \in\left[\frac{3}{4}\,;3\right] et \left[\frac{3}{4}\,;3\right] \subset \mathrm{I}.
f(x)=x \Leftrightarrow \frac{3}{x+1}=x \Leftrightarrow 3=x(x+1) \Leftrightarrow x^{2}+x-3=0.
On trouve \Delta = 13 d'où x_{1}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \in \mathrm{I} et x_{2}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \notin \mathrm{I}.
Donc, d'après le théorème du point fixe, \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.

Exercices

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et

40

p. 203