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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Activité
Continuité
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AApproche de la continuité
Objectif : Découvrir la notion de continuité en un point, graphiquement puis algébriquement.
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Bernard Bolzano (1781‑1848) est un des premiers à avoir proposé une définition logique de la notion de continuité fondée sur la seule notion de limite.
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Partie A : Point de vue graphique
On considère les représentations graphiques \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g} des fonctions suivantes : f: x \mapsto x+2 et g: x \mapsto\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x} \text { si } x\lt1 \\ x \text { sinon }\end{array}\right..
Partie B : Point de vue algébrique
On considère les fonctions f et g précédentes.
b) Que peut‑on constater ? On dit que f est continue en 1.
b) Que peut‑on constater ? On dit que g n'est pas continue en 1.
On considère les représentations graphiques \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g} des fonctions suivantes : f: x \mapsto x+2 et g: x \mapsto\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x} \text { si } x\lt1 \\ x \text { sinon }\end{array}\right..
1
Quelle différence graphique observe-t-on entre \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g} ?2
Parmi les deux courbes \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g}, quelle est celle qui semble alors représenter une fonction continue ?On considère les fonctions f et g précédentes.
1
a) Calculer \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x\lt1}} f(x), \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x>1}} f(x) et f(1).
b) Que peut‑on constater ? On dit que f est continue en 1.
2
a) Calculer \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x\lt1}} g(x), \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x>1}} g(x) et g(1).
b) Que peut‑on constater ? On dit que g n'est pas continue en 1.
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Bilan
Soit \boldsymbol{f} une fonction définie sur un intervalle \boldsymbol{\text{I}}. Comment définir graphiquement et algébriquement que \boldsymbol{f} est continue en un réel \boldsymbol{a \in \mathrm{I}} ?
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BÀ la découverte du théorème des valeurs intermédiaires
Objectif : Découvrir le principe du théorème des valeurs intermédiaires.
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Partie A : Approche intuitive de la vie courante
Partie B : Approche mathématique
b) Le cube d'un nombre et son triple peuvent‑ils différer de 1 ? De 2 ? Peut‑on avoir n'importe quel écart k \in \mathbb{R} ? On pourra utiliser GeoGebra ou la calculatrice et représenter les fonctions x^{3}-3 x-1, x^{3}-3 x-2, etc.
Représenter cette fonction dans un repère.
1
Le sous‑marin nucléaire d'attaque (SNA) Casabianca de la Marine nationale atteint une profondeur maximale de plus de 300 m. S'il plonge de la surface vers sa profondeur maximale, est‑il passé, à un moment donné, par la profondeur 200 m ? 100 m ? 400 m ? Comment l'expliquer ?2
La flèche du pont levant de la Seyne‑sur‑Mer, créée par Gustave Eiffel, atteint une hauteur de 40 m en position levée. En position basse, on définit sa hauteur à 0 m. Est‑il vrai que, pour passer de la position levée à la position baissée, l'altitude de la flèche prend toutes les valeurs comprises entre 0 m et 40 m ? Justifier.Partie B : Approche mathématique
1
a) Le cube d'un nombre peut‑il être égal à son triple ? Justifier.b) Le cube d'un nombre et son triple peuvent‑ils différer de 1 ? De 2 ? Peut‑on avoir n'importe quel écart k \in \mathbb{R} ? On pourra utiliser GeoGebra ou la calculatrice et représenter les fonctions x^{3}-3 x-1, x^{3}-3 x-2, etc.
GeoGebra
2
Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=\left\{\begin{array}{r}0 \text { si } x\lt0 \\ 1 \text { si } x=0 \\ x+2 \text { si } x>0\end{array}\right..Représenter cette fonction dans un repère.
3
Que peut‑on dire du nombre de solutions de l'équation g(x) = k suivant les valeurs de k ?4
Soit f: x \mapsto x^{3}-3 x. Quelle différence entre f et g permet d'expliquer que, pour certaines valeurs de k, les équations proposées admettent ou non une solution ?Ressource affichée de l'autre côté.
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Bilan
Soient une fonction \boldsymbol{f:[a\,; b] \rightarrow \mathbb{R}} et \boldsymbol{k} un réel compris entre \boldsymbol{f(a)} et \boldsymbol{f(b)}. Donner une condition suffisante pour que l'équation \boldsymbol{f(x) = k} admette au moins une solution dans \boldsymbol{[a\,; b]}.
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CSuites et continuité
Objectif : Étudier une suite du type u_{n+1}=f\left(u_{n}\right) où f est continue d'un intervalle dans lui‑même.
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On désire étudier la suite (u_n) définie par u_0 = 2 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_{n}}{2}}.
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Partie A
On considère la fonction f définie sur \mathrm{I}=[-1\,; +\infty[ par f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{2}}.
Partie B
On considère la fonction f définie sur \mathrm{I}=[-1\,; +\infty[ par f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{2}}.
1
Étudier les variations de f sur \text{I}.Aide
Si g(x)=\sqrt{a x+b}, alors g^{\prime}(x)=\frac{a}{2 \sqrt{a x+b}}.
2
Montrer que, si 0 \leqslant x \leqslant 1, alors 0 \leqslant f(x) \leqslant 1.3
Justifier que f est continue et résoudre dans [0\,; +\infty[ l'équation f(x) = x.1
À l'aide de GeoGebra, tracer la courbe représentative de \mathcal{C}_f et la droite d'équation y = x.
GeoGebra
2
En utilisant le graphique, représenter les trois premiers termes de la suite (u_n) sur l'axe des abscisses en s'aidant de la représentation ci‑contre.
GeoGebra
3
Conjecturer alors les variations et la limite de la suite (u_n).4
Justifier que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n}=\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} u_{n+1}.5
Si (u_n) converge vers une limite \ell, que peut‑on dire de \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} f\left(u_{n}\right) ?6
En déduire la valeur de \ell, en utilisant les résultats des questions 4 et 5 et ceux de la question 3 de la partie A.Ressource affichée de l'autre côté.
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Bilan
Si une suite \boldsymbol{(u_n)} est définie par récurrence par \boldsymbol{u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)} où \boldsymbol{f} est une fonction continue d'un intervalle \boldsymbol{\text{I}} sur lui‑même et que \boldsymbol{(u_n)} converge vers un nombre \boldsymbol{\alpha}, comment peut‑on trouver la valeur exacte ou approchée de \boldsymbol{\alpha} ?
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Ce résultat est un cas particulier de ce que l'on appelle le point fixe d'une équation fonctionnelle.
Ces résultats ont été introduits et démontrés par deux grands fondateurs de l'analyse fonctionnelle, le Français Émile Picard (1856‑1941) et le Polonais Stephan Banach (1892‑1945).
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