Soient f une fonction définie sur un intervalle \text{I} et a un réel appartenant à \text{I}.

• f est continue en \boldsymbol{a} lorsque f admet une limite en a et que cette limite est f(a).
• f est continue sur un intervalle \mathrm{I} lorsqu'elle est continue en a pour tout a \in \mathrm{I}.

La représentation graphique d'une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon.

La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\left\{\begin{aligned}x^{2} \text { si } x&\lt2 \\ 3 \text { si } x&=2 \\ x^{2} \text { si } x&>2\end{aligned}\right. n'est pas continue en 2.
En effet, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} f(x)=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x\lt2}} f(x)=4 mais f(2) = 3.

La fonction f est définie sur \mathbb{R} par f(x)=\left\{\begin{array}{r}x+6 \text { si } x \leqslant 3 \\ x^{2} \text { si } x>3\end{array}\right.. Cette fonction est‑elle continue en 3 ?

Pour étudier la continuité en a d'une fonction f :
1. on calcule la limite de f en a pour x \lt a ;
2. on calcule la limite de f en a pour x > a ;
3. on compare les valeurs obtenues à f(a) : si \lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x>a}} f(x)=\lim\limits_{\substack {x \rightarrow a \\ x \lt a}} f(x)=f(a), alors f est continue en a.

On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle \text{I}.
Soient x et a deux réels appartenant à \text{I}.
Pour tout x \neq a, on a f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times(x-a).
Or \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(x-a)=0 et, puisque f est dérivable en a, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a).
Ainsi, \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}}(f(x)-f(a))=f^{\prime}(a) \times 0=0 donc \lim\limits_{\substack{x \rightarrow a}} f(x)=f(a) et f est continue en a.

Soit la fonction f: x \mapsto x^{3}+1 définie sur \mathbb{R}. f est dérivable sur \mathbb{R}, elle est donc continue sur \mathbb{R}.

1. Les fonctions de référence (polynômes, valeur absolue, exponentielle, racine carrée, etc.) sont continues sur leur intervalle de définition.
2. La somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle \text{I} sont continues sur cet intervalle.
3. Si f et g sont continues sur \text{I} et si g ne s'annule pas sur \text{I}, alors \frac{f}{g} est continue sur \text{I}.

Si f: \mathrm{I} \rightarrow \mathrm{J} et g: \mathrm{J} \rightarrow \mathbb{R} sont des fonctions continues alors g \circ f est continue sur \text{I}.

f est une somme de fonctions continues sur [0\,;+\infty[, elle est donc continue sur [0\,;+\infty[.

Exercice

28

p. 202