1

Toute fonction continue sur \mathbf{I} admet des primitives sur \mathbf{I}. Cela permet de :

✔ justifier l'existence de primitives d'une fonction ;
✔ calculer l'intégrale d'une fonction par la formule \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=[\mathrm{F}(x)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a), où \text{F} est une primitive de f sur [a~; b] ;
✔ calculer une aire définie par une intégrale lorsque f est de signe constant.

2

La valeur moyenne d'une fonction \boldsymbol{f} sur \boldsymbol{[a~; b]} est \boldsymbol{\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)} \textbf{d} \boldsymbol{x}. De plus, si \boldsymbol{f \leqslant g} alors \boldsymbol{\int_{a}^{b} f \leqslant \int_{a}^{b} g}. Cela permet de :

✔ calculer la valeur moyenne de f ;
✔ estimer graphiquement la valeur moyenne de f lorsque f \geqslant 0 ;
✔ minorer, majorer, encadrer une intégrale.

3

On a les propriétés suivantes :
\boldsymbol{\int_{a}^{a} f(x) \textbf{d} x=0},
\boldsymbol{\int_{b}^{a} f(x) \mathbf{d} x=-\int_{a}^{b} f(\{x) \mathbf{d} x},
\boldsymbol{\int_{a}^{b}(\lambda f+g)(x) \mathbf{d} x=\lambda \int_{a}^{b} f(x) \mathbf{d} x+\int_{a}^{b} g(x) \mathbf{d}x} (linéarité de l'intégrale) et
\boldsymbol{\int_\textcolor{#2c85bb}{{a}}^\textcolor{#b1354f}{{b}} f(x) \mathbf{d} x=\int_\textcolor{#2c85bb}{{a}}^\textcolor{#5eb45e}{{c}} f(x) \mathbf{d} x+\int_\textcolor{#5eb45e}{{c}}^\textcolor{#b1354f}{{b}} f(x) \mathbf{d} x} (relation de Chasles). Cela permet de :

✔ simplifier des calculs en effectuant des opérations sur les intégrales.

4

Intégration par parties : si \boldsymbol{u} et \boldsymbol{v} sont dérivables sur \mathbf{I}, \boldsymbol{u'} et \boldsymbol{v'} continues sur \mathbf{I}, alors :
\boldsymbol{\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathbf{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathbf{d} x}. Cela permet de :

✔ calculer l'intégrale d'une fonction dont le calcul de primitives n'était pas possible directement.