Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Cours 1
Intégrale d'une fonction continue de signe constant
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
On se place dans un repère orthogonal \mathrm{(O\:, I\:, J)}.
L'unité d'aire est définie par 1 u.a. =\mathrm{OI} \times \mathrm{OJ}.
On considère deux réels a et b tels que a \lt b et une fonction f continue et positive sur l'intervalle [a~; b].
On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans le repère \mathrm{(O\:, I\:, J)}.
On définit le domaine \mathcal{D}, comme indiqué ci‑contre, délimité par \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
L'unité d'aire est définie par 1 u.a. =\mathrm{OI} \times \mathrm{OJ}.
On considère deux réels a et b tels que a \lt b et une fonction f continue et positive sur l'intervalle [a~; b].
On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans le repère \mathrm{(O\:, I\:, J)}.
On définit le domaine \mathcal{D}, comme indiqué ci‑contre, délimité par \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
L'aire du domaine existe, puisque la fonction est positive et continue sur [a~; b].
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
L'aire du domaine \mathcal{D}, en u.a., est appelée intégrale de f sur l'intervalle [a~; b].
On note : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\operatorname{aire}(\mathcal{D}).
On note : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\operatorname{aire}(\mathcal{D}).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x se dit « intégrale de a à b de f(x) \mathrm{d}x ».
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Le domaine \mathcal{D} ci‑contre est un triangle rectangle.
En appliquant la formule de l'aire d'un triangle, on obtient \displaystyle\int_{-3}^{2} f(x) d x=\frac{5 \times 5}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5 u.a..
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
x est dite variable muette, c'est‑à‑dire que :
\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(u) \mathrm{d} u
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(r) \mathrm{d} r etc.
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(u) \mathrm{d} u
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(r) \mathrm{d} r etc.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Si f est continue et négative sur [a~; b], alors l'aire du domaine \mathcal{D}, en u.a., est :
\operatorname{aire}(\mathcal{D})=\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
On note \mathcal{D}' le domaine délimité par \mathcal{C}_{-f^{\prime}}.
On a : \operatorname{aire}\left(\mathcal{D}^{\prime}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, les aires des domaines \mathcal{D} et \mathcal{D}' sont égales.
Donc \operatorname{aire}(\mathcal{D})=\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Si f est continue et positive sur [a~; b], alors \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0.
Si f est continue et négative sur [a~; b], alors \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant 0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 1
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
On définit la fonction f sur \R par f(x)=5-2x.
On note \mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.
1. Calculer l'aire du domaine \mathcal{D} délimité par \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-6 et x=1 en u.a., puis en cm2.
2. En déduire la valeur de l'intégrale \displaystyle\int_{-6}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
1. Calculer l'aire du domaine \mathcal{D} délimité par \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-6 et x=1 en u.a., puis en cm2.
2. En déduire la valeur de l'intégrale \displaystyle\int_{-6}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1.
• Justifier la continuité et la positivité de f sur [a~; b].
• Tracer éventuellement la représentation graphique de la fonction f pour repérer la forme géométrique du domaine.
• Appliquer les formules de géométrie plane.
• Convertir 1 u.a. en cm2, si nécessaire.
2. Faire le lien entre l'aire du domaine en u.a. et l'intégrale cherchée. Si f \leqslant 0, utiliser \displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
• Tracer éventuellement la représentation graphique de la fonction f pour repérer la forme géométrique du domaine.
• Appliquer les formules de géométrie plane.
• Convertir 1 u.a. en cm2, si nécessaire.
2. Faire le lien entre l'aire du domaine en u.a. et l'intégrale cherchée. Si f \leqslant 0, utiliser \displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. f est une fonction dérivable, donc continue sur [-6~; 1]. Elle est positive sur [-6~; 1]. Ci‑après, on donne la représentation graphique de f.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Le domaine \mathcal{D} est un trapèze donc :
\operatorname{aire}(\mathcal{D})=\frac{(\mathrm{B}+b) \times h}{2}
=\frac{(f(-6)+f(1)) \times(1-(-6))}{2}
=\frac{(17+3) \times 7}{2}
= 70 u.a.
1 u.a. correspond à l'aire d'un carré de côté 2 cm, soit 1 u.a. =4 cm2. L'aire du domaine \mathcal{D} est donc égale à 70 \times 4 = 280 cm2.
2. On en déduit que \displaystyle\int_{-6}^{1} f(x) \mathrm{d} x=70.
\operatorname{aire}(\mathcal{D})=\frac{(\mathrm{B}+b) \times h}{2}
=\frac{(f(-6)+f(1)) \times(1-(-6))}{2}
=\frac{(17+3) \times 7}{2}
= 70 u.a.
1 u.a. correspond à l'aire d'un carré de côté 2 cm, soit 1 u.a. =4 cm2. L'aire du domaine \mathcal{D} est donc égale à 70 \times 4 = 280 cm2.
2. On en déduit que \displaystyle\int_{-6}^{1} f(x) \mathrm{d} x=70.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème
La fonction \mathrm{F}_a, définie sur [a~; b] par \mathrm{F}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, est la primitive de f qui s'annule en a.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
\mathrm{F}_{a}(a)=\displaystyle\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t=0, puisque le domaine est réduit à un point.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Voir activité .
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Soient \text{F} et f deux fonctions telles que \text{F} est une primitive de f sur [a~; b]. On a :
\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=[\mathrm{F}(t)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Considérons \mathrm{F}_a et \mathrm{F} deux primitives de f. Il existe donc un réel k tel que \mathrm{F}_{a}=\mathrm{F}+\mathrm{k}.
On écrit alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}_{a}(b)=\mathrm{F}(b)+k.
Or : \displaystyle\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}_{a}(a)=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}(a)+k=0 \Leftrightarrow k=-\mathrm{F}(a) donc \mathrm{F}(b)+k=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
On en déduit alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
On écrit alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}_{a}(b)=\mathrm{F}(b)+k.
Or : \displaystyle\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}_{a}(a)=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}(a)+k=0 \Leftrightarrow k=-\mathrm{F}(a) donc \mathrm{F}(b)+k=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
On en déduit alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Cette propriété reste valable pour une fonction continue dont le signe n'est pas constant.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 2
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Calculer et interpréter graphiquement \int_{3}^{12} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
- Justifier la continuité et le signe constant de f sur [a~; b].
- Déterminer une primitive de f, puis calculer l'intégrale.
- Interpréter le résultat comme l'aire d'un domaine (attention au signe de f).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
La fonction x \mapsto \frac{1}{x^{2}} est continue et positive sur [3~; 12]. Une primitive de f sur [3~; 12] est la fonction x \mapsto-\frac{1}{x}.
Donc \displaystyle\int_{3}^{12} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\frac{1}{x}\right]_{3}^{12}=-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}.
L'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation respective x=3 et x=12, est égale à \frac{1}{4} u.a.
Donc \displaystyle\int_{3}^{12} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\frac{1}{x}\right]_{3}^{12}=-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}.
L'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation respective x=3 et x=12, est égale à \frac{1}{4} u.a.
Pour s'entraîner
Exercices et
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah