Calcul intégral

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À l'aide du quadrillage du graphique A, estimer en cm², la valeur de \mathcal{D}, en donnant sa valeur approchée.

Pour la suite, on subdivise l'intervalle [0~; 1] en n intervalles de la forme \left[\frac{k}{n} ; \frac{k+1}{n}\right], où n et k sont des entiers tels que n \neq 0 et 0 \leqslant k \leqslant n-1 (sur le graphique B, on a représenté le cas n = 8).

On considère un entier k tel que 0 \leqslant k \leqslant n-1. On note \mathrm{A}_k et \mathrm{B}_k les aires respectives de chaque rectangle rouge et vert.
On note : \mathrm{I}_{n}=\mathrm{A}_{0}+\mathrm{A}_{1}+\ldots+\mathrm{A}_{n-1} et \mathrm{J}_{n}=\mathrm{B}_{0}+\mathrm{B}_{1}+\ldots+\mathrm{B}_{n-1}.

a) Exprimer \mathrm{A}_k et \mathrm{B}_k en fonction de n, f\left(\frac{k}{n}\right) et f\left(\frac{k+1}{n}\right).

b) Pour n \in \N^*, on pose u_{n}=\frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\ldots+f(1)\right].
En déduire que u_{n} \leqslant \mathcal{D} \leqslant u_{n}+\frac{1}{n}.

c) La question précédente permet d'obtenir un encadrement de \mathcal{D}.
Déterminer l'amplitude de cet encadrement en fonction de n.

d) Lorsque n tend vers +\infty, que peut‑on dire de l'amplitude de cet encadrement ? Que peut‑on en déduire pour \mathcal{D} ?

À l'aide d'un tableur, on va calculer les valeurs de \mathrm{I}_n et \mathrm{J}_n dans le cas n=10.

a) Quelle formule a été saisie dans la cellule B2 ?

b) Dans les cellules C2 et C3 ont été saisies respectivement les formules =B2 et =C2+B3. La cellule C3 a ensuite été copiée‑glissée jusqu'en C11. Quelle formule obtient‑on dans la cellule C11 ? Que peut‑on mettre comme intitulé dans la cellule C1 ?

c) Quelles formules ont été saisies dans les cellules F2 et F3 ?

d) Modifier la feuille de calcul pour déterminer un encadrement de \mathcal{D} d'amplitude 10^{-3}.

Soient a, b et x_0 trois réels tels que a \lt b et x_{0} \in[a~; b].
On considère une fonction f continue et positive sur [a~; b] et on définit la fonction \mathrm{F}_a sur [a~; b] par \mathrm{F}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t. On suppose, sans perte de généralité, que f est croissante sur [a~; b].

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a) Pour tout réel h > 0 tel que x_{0}+h\lt b, interpréter graphiquement \mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right) et \mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right).

b) En déduire une interprétation graphique de \mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right)-\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right).

c) En utilisant les rectangles \text{ABCD} et \text{ABFE}, justifier que h f\left(x_{0}\right) \leqslant \mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right)-\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right) \leqslant h f\left(x_{0}+h\right), puis en déduire un encadrement de \frac{\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right)-\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right)}{h}.

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Recommencer la question précédente avec h \lt 0 tel que x_{0}+h>a. On fera notamment attention au sens de la double inégalité.

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Quel argument permet de justifier que \lim \limits_{\substack{h \rightarrow 0}} f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right) ?