Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

On cherche à étudier la convergence éventuelle des suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n) définies pour tout entier n \geqslant 1 par :
\mathrm{S}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} et \mathrm{T}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}.

Questions préliminaires :

1. Calculer à la main \text{S}_1 ; \text{S}_2 ; \text{S}_3 ; \text{S}_4 ; \text{T}_1 ; \text{T}_2 ; \text{T}_3 et \text{T}_4. On donnera les résultats sous forme d'une fraction irréductible.

2. Les suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n) semblent-elles convergentes ou divergentes ?

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Convergence ou divergence ? - Travailler ensemble

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Partie 1

1. Compléter le programme en Python ci-dessous permettant, pour un entier n donné, de déterminer \text{S}_n et \text{T}_n.

def ST(n):
	S = 0 
	T = 0
	for i in range (..., ...):
		S = S + ...
		T = T + ...
	return(S, T)

2. Quelles valeurs sont alors affichées lorsque n = 10 ? n = 100 ? n = 10\:000 ? n = 1\:000\:000 ? n = 10\:000\:000 ?

3. Conjecturer la convergence des suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n).

4. Compléter le programme pour obtenir l'écart entre \text{S}_n et \text{T}_n. Quelle conjecture peut-on faire sur cet écart ?

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Partie 2

1. Montrer que (\text{S}_n) est strictement croissante.

2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative \mathcal{C}_{f} de la fonction f définie sur ] 0\: ;+\infty[ par f(x)=\frac{1}{x} ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que \mathrm{S}_{n} \lt 1+\displaystyle\int_{1}^{n} \frac{1}{x} \mathrm{d} x.

b. Par un raisonnement analogue, démontrer que : \mathrm{S}_{n} \gt \displaystyle\int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{d} x.

c. La suite (\text{S}_n) converge-t-elle ? Justifier.

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Partie 3

1. Montrer que (\text{T}_n) est strictement croissante.

2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative \mathcal{C}_{g} de la fonction f définie sur ] 0\: ;+\infty[ par g(x)=\frac{1}{x^2} ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que \mathrm{T}_{n} \lt 1+\displaystyle\int_{1}^{n} \frac{1}{x^2} \mathrm{d} x.

b. Par un raisonnement analogue, démontrer que : \mathrm{T}_{n} \gt \displaystyle\int_{1}^{n+1} \frac{1}{x^2} \mathrm{d} x.

c. La suite (\text{T}_n) converge-t-elle ? Justifier.

Afficher la correction

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Mise en commun

Les suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n) sont-elles convergentes ou divergentes ? Ce résultat était-il prévisible ?

Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais

Yolène

Émilie

Jean-Paul

Fatima

Sarah

Utilisation des cookies

Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.