Brook Taylor, mathématicien anglais du début du XVIII^e siècle, a joué un grand rôle dans la recherche sur le calcul intégral. On lui doit la formule de Taylor avec reste intégral qui donne, en l'appliquant à la fonction exponentielle : \mathrm{e}^{x}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} \frac{x^{k}}{k !}+\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{(x-t)^{n} \mathrm{e}^{t}}{n !} \mathrm{d} t, où x est un réel différent de 0, n est un entier naturel et n !=1 \times 2 \times \ldots \times n (par convention 0! = 1). On admet que \mathrm{E}_{n}(x)=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} \frac{x^{k}}{k !} est une valeur approchée de \mathrm{e}^x lorsque n est suffisamment grand. Question préliminaire :

Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour n=1, puis n=2 et enfin n=3.

Obtenir des valeurs approchées de \mathbf{e} en utilisant une des trois méthodes.