D'après le graphique ci‑dessous, on peut écrire que la valeur moyenne de f sur [2~; 7] est environ égale à :

\displaystyle\int_{-2}^{1}\left(-x^{3}+2 x^{2}-1\right) \mathrm{d} x est égale à :

a. -15

b. -\frac{27}{4}

c. 15

d. \frac{27}{4}

Parmi les affirmations suivantes, déterminer celle qui est correcte.

a. \displaystyle\int_{-2}^{-1} 3 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{-2}^{-1} 3 x \mathrm{d} x \times \displaystyle\int_{-2}^{-1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x

b. \displaystyle\int_{-2}^{-1}\left(3 x+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=3 \displaystyle\int_{-2}^{-1} x \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{-2}^{-1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x

c. \displaystyle\int_{-2}^{-1} 3 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x \geqslant 0

d. \displaystyle\int_{-2}^{-1}\left(3 x+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{-2} 3 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{0}^{-1} 3 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x

Soit f la fonction définie sur [1~;+\infty[ par : f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}(t-1) \mathrm{e}^{t} \mathrm{d} t.

a. f est dérivable sur [1~;+\infty[ et f^{\prime}(x)=(x-1) \mathrm{e}^{x}.

b. f est dérivable sur [1~;+\infty[ et f^{\prime}(x)=x \mathrm{e}^{x}.

c. f admet pour primitive sur [1~;+\infty[ : \mathrm{F}: x \mapsto(x-1) \mathrm{e}^{x}.

d. f admet pour primitive sur [1~;+\infty[ : \mathrm{F}: x \mapsto\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right) \mathrm{e}^{x}.

Si f est une fonction définie et continue sur \R vérifiant, pour tout réel x, -5 \leqslant f(x) \leqslant-2, alors on peut affirmer que :

a. \displaystyle\int_{0}^{-2} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0

b. \displaystyle\int_{-2}^{0} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0

c. -5 \leqslant \displaystyle\int_{-2}^{0} f(x) \mathrm{d} x \leqslant-2

d. -10 \leqslant \displaystyle\int_{-2}^{0} f(x) \mathrm{d} x \leqslant-4

Soit f la fonction carré, de courbe représentative \mathcal{C}_f dans un repère orthogonal d'unité 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée. L'aire du domaine compris entre \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-1 et x=2 est égale à :

a. 3 u.a.

b. 6 u.a.

c. 3 cm²

d. 6 cm²

f est une fonction définie sur \R et impaire. Alors, on peut affirmer que :

a. \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0.

b. l'on ne peut pas connaître la valeur de \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x.

c. \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0.

d. \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0.

f et g sont définies sur \R par f(x)=x^3 et g(x)=x^2. L'aire du domaine situé entre les courbes représentatives de f et g sur [0~; 1] est égale à :

a. \displaystyle\int_{0}^{1}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x

b. \displaystyle\int_{0}^{1}[g(x)-f(x)] \mathrm{d} x

c. \frac{1}{12} u.a.

d. -\frac{1}{12} u.a.

17

Montrer que 2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^{3} \frac{\mathrm{e}^{x-1}}{x} \mathrm{d} x \leqslant \frac{2 \mathrm{e}^{2}}{3}.

A

Vrai ou faux ? f est une fonction continue sur \text{I} =\left[a \: ;b\right]. Si \displaystyle\int_b^a f(t) \: \mathrm{d}t est positive, alors f est positive sur \text{I}.

a. Vrai

b. Faux

B

f et g sont deux fonctions définies sur \mathbb{R} par f(x) = x^4-5x^3+4x^2 et g(x)=4x^2-20x+16 . L'aire du domaine compris entre les courbes représentatives de fet g et les droites d'équation x=1 et x=5 est égale à ...

a. \displaystyle \int_1^5 \left[f(x)-g(x)\right]\:\mathrm{d}x u.a..

b. \displaystyle \int_1^5 \left[g(x)-f(x)\right]\:\mathrm{d}x u.a..

c. Ni l'un ni l'autre.

C

Combien vaut \displaystyle \int_1^2 x^2 \text{ln} \left( x^2 \right) \text{d}x ?

a. \text{ln} \left( 4 \right)

b. \dfrac{16}{3} \text{ln} \left(2 \right) - \dfrac{14}{9}

c. 8\text{ln} \left( 2 \right)

d. \dfrac{8}{3} \text{ln} \left(2 \right) - \dfrac{14}{9}

D

f est une fonction continue et positive sur \left[a \: ;b\right]. Alors :

a. \displaystyle \int_a^b f(x) \:\mathrm{d}x correspond à l'aire en u.a. d'un domaine.

b. \displaystyle \int_a^b -f(x) \:\mathrm{d}x correspond à l'aire en u.a. d'un domaine.

c. \text{F} \colon x \mapsto \displaystyle \int_a^x f(t) \:\mathrm{d}t est dérivable sur \left[a \: ;b\right] et \text{F}'(x)= f'(x).

d. \text{F} \colon x \mapsto \displaystyle \int_a^x f(t) \:\mathrm{d}t est croissante sur \left[a \: ;b\right].

E

f est une fonction dont voici une représentation graphique sur \left[-3\ \: ;6\right]. Quelles égalités sont exactes ?

F

Quelles égalités sont correctes ?

a. \displaystyle\int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \: \mathrm{d}x=1

b. \displaystyle\int_0^1 x^4 \: \mathrm{d}x=\dfrac{1}{5}

c. \displaystyle \int_1^0 \mathrm{e}^x \: \mathrm{d}x=1-\mathrm{e}

d. \displaystyle\int_{-2}^0 \mathrm{e}^{3x} \: \mathrm{d}x=\dfrac{\mathrm{e}^6-1}{3\mathrm{e}^6}

G

(\text{I}_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite d'intégrales définies par \text{I}_n=\int_0^1 x^n\:\mathrm{d}x . Alors :

a. (\text{I}_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite dont tous les termes sont positifs.

b. (\text{I}_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite dont tous les termes sont négatifs.

c. (\text{I}_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite décroissante.

d. (\text{I}_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite croissante.

H

Pour calculer \int_1^6 x\mathrm{e}^{-2x} \: \mathrm{d}x, par intégration par parties, on pose :