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Préparation aux épreuves du Bac
1. Constitution et transformations de la matière
Ch. 1
Modélisation des transformations acide-base
Ch. 2
Analyse physique d'un système chimique
Ch. 3
Méthode de suivi d'un titrage
Ch. 4
Évolution temporelle d'une transformation chimique
Ch. 5
Évolution temporelle d'une transformation nucléaire
BAC
Thème 1
Ch. 6
Évolution spontanée d'un système chimique
Ch. 7
Équilibres acide-base
Ch. 8
Transformations chimiques forcées
Ch. 9
Structure et optimisation en chimie organique
Ch. 10
Stratégies de synthèse
BAC
Thème 1 bis
2. Mouvement et interactions
Ch. 11
Description d'un mouvement
Ch. 12
Mouvement dans un champ uniforme
Ch. 13
Mouvement dans un champ de gravitation
Ch. 14
Modélisation de l'écoulement d'un fluide
BAC
Thème 2
3. Conversions et transferts d'énergie
Ch. 15
Étude d’un système thermodynamique
Ch. 16
Bilans d'énergie thermique
BAC
Thème 3
4. Ondes et signaux
Ch. 17
Propagation des ondes
Ch. 18
Interférences et diffraction
Ch. 19
Lunette astronomique
Ch. 20
Effet photoélectrique et enjeux énergétiques
Ch. 21
Évolutions temporelles dans un circuit capacitif
BAC
Thème 4
Annexes
Ch. 22
Méthode
Fiche m éthode 6
Outils Mathématiques
Équation de trajectoire
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A Définition et obtention
Dans un référentiel donné, associé à un repère cartésien de base (\text{O}, \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j} ), on appelle équation de trajectoire une équation de la forme y = f(x). Cette équation se distingue des équations horaires, car elle ne fait pas intervenir la variable temporelle t.
Pour obtenir l'équation de trajectoire d'un système, il est nécessaire d'avoir les équations horaires x = f(t) et y = g(t) et de s'en servir pour substituer le temps t. De cette manière, l'équation obtenue permet de désigner l'ensemble des points décrivant la trajectoire du système.
Pour obtenir l'équation de trajectoire d'un système, il est nécessaire d'avoir les équations horaires x = f(t) et y = g(t) et de s'en servir pour substituer le temps t. De cette manière, l'équation obtenue permet de désigner l'ensemble des points décrivant la trajectoire du système.
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B Exemple : mouvement parabolique
On s'intéresse au mouvement d'un projectile, dont le centre de masse est noté \text{M}, lancé avec une vitesse initiale v_0, depuis une hauteur h et selon un angle \alpha avec l'horizontale. L'utilisation de la 2e loi de Newton permet d'aboutir aux équations horaires :
\overrightarrow{\text{OM}} \begin{pmatrix}
x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t \\
y(t) = - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t + h
\end{pmatrix}_{(\text{O}, \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j} )}
On peut utiliser la première équation horaire pour isoler t. Cela amène à :
x = v_0\cdot \cos(\alpha) \cdot t
t = \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)}
En substituant t dans l'expression de y, on obtient :
y = - \dfrac{g}{2} \cdot \bigg( \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \bigg)^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} + h
y = - \dfrac{g}{2 \ v^2_0 \cdot \cos(\alpha)^2} \cdot x^2 + \tan(\alpha) \cdot x + h
Cette dernière équation est l'équation de la trajectoire, correspondant à une parabole concave.
On peut utiliser la première équation horaire pour isoler t. Cela amène à :
x = v_0\cdot \cos(\alpha) \cdot t
t = \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)}
En substituant t dans l'expression de y, on obtient :
y = - \dfrac{g}{2} \cdot \bigg( \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \bigg)^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} + h
y = - \dfrac{g}{2 \ v^2_0 \cdot \cos(\alpha)^2} \cdot x^2 + \tan(\alpha) \cdot x + h
Cette dernière équation est l'équation de la trajectoire, correspondant à une parabole concave.
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Trajectoires paraboliques de balles.
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