L'incertitude-type sur X, notée u(X), indique la marge d'erreur possible estimée sur la valeur X. Ainsi, pour un ensemble de mesures réalisées, environ 95 % de celles-ci se retrouvent entre X - u(X) et X + u(X), mais 5 % se retrouvent en dehors. C'est pour cette raison que l'incertitude-type s'exprime avec un seul chiffre significatif arrondi au supérieur. u(X) s'apparente ainsi davantage à un ordre de grandeur plutôt qu'à une valeur précise.

Exemple :
Si l'on mesure une longueur l de 15{,}5 cm et que l'on estime que son incertitude correspond à ± \ 0{,}25 cm, alors l = 15{,}5 ± 0{,}3 cm.

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B
Incertitude de mesure

Nombre de mesures	2	3	4	5	6	7	8	9	10	16	21	26	51	101
Coefficient k (niveau de confiance 95 %)	12,71	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,26	2,13	2,09	2,06	2,01	1,984

u(X) = k \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

n : nombre de mesures
\sigma : écart-type de la série de mesures (représente l'étalement des mesures autour de la moyenne ; peut être obtenu facilement avec un tableur)
k : coefficient dépendant de n et du niveau de confiance sur la mesure (souvent 95 %)

Remarque : Plus n augmente, plus u(X) va diminuer. La réalisation d'un maximum de mesures permet d'améliorer la précision.

Incertitude estimée, dite de type B

De nombreuses sources d'erreurs peuvent conduire à une mesure approximative d'une grandeur x. On peut citer quelques exemples :

erreur liée à la taille de la graduation (ici deux traits sont séparés de 0{,}5 mL. On a donc \pm \ 0{,}5 mL indiqué par les graduations) ;
erreur liée à la fabrication de l'objet de mesure (ici, le fabricant assure la précision des graduations à \pm \ 0{,}25 mL) ;
erreur liée à un facteur extérieur (ici, la précision est donnée pour 20 °C. Si la température change, les données changent) ;
erreur liée à la lecture du résultat ;
erreur liée aux manipulations (pertes de gouttes lors d'un versement ou bulles coincées dans le liquide).

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Précision d'une mesure

Toutes ces erreurs s'accumulent, il faut en tenir compte pour estimer raisonnablement l'incertitude. Dans cet exemple, l'incertitude serait au minimum à ± \ 0{,}5 mL, voire ± \ 1 mL.

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C
Chiffres significatifs

Les chiffres significatifs sont des chiffres apportant une information sur la précision d'une valeur. Tous les chiffres d'une valeur numérique sont significatifs, hormis certains 0. En effet, trois cas sont à considérer :

lorsque les 0 sont situés entre deux chiffres non nuls, ils sont significatifs ;
lorsque le nombre est plus petit que 1, tous les 0 précédant le premier chiffre non nul ne sont pas significatifs ;
lorsque le nombre est très grand, les 0 successifs jusqu'à l'unité peuvent être ou non significatifs (dans ce dernier cas, seule une précision fournie par l'énoncé ou le contexte d'étude permet de trancher).

Précision d'un résultat à la lecture des données utilisées

Cas 1 : Addition et soustraction

Le résultat a le même niveau de précision que le nombre qui a la décimale la moins précise.

Exemple :
Un rectangle a 2{,}33 cm de largeur et 5 cm de longueur. Soit P son périmètre :

P = 2 \ L + 2 \ l

AN : P = 5 \times 2 + 2{,}33 \times 2 = 15 cm

Le résultat est exprimé avec une précision au centimètre près en raison de la longueur fournie.

Cas 2 : Multiplication et division

Le résultat a le même nombre de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.

Exemple :
La grande aiguille d'une horloge de mauvaise qualité est de longueur l = 10{,}5 cm. On mesure la durée nécessaire pour qu'elle effectue son tour, soit \Delta t = 3 \ 600{,}01 s. On s'intéresse à la vitesse de la pointe de l'aiguille :

v=\dfrac{2 \pi \cdot r}{\Delta t}

AN : v =\dfrac{2 \times \pi \times 10{,}5 \times 10^{-2}}{3 \ 600{,}01}=1{,}83 \times 10^{-4} m·s^‑1

Précision d'une grandeur X à la lecture de l'incertitude u(X)

Le résultat aura le même niveau de précision que u(X). Il ne peut pas être plus précis que l'incertitude.

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D
Estimation de la réussite d'une mesure

Un intervalle de confiance d'une mesure théorique peut avoir des points communs avec celui de la mesure expérimentale :

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Toutefois, il peut arriver que les intervalles n'aient aucun point commun :

Intervalle de confiance sans point commun

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Remarque :
Si l'écart entre les deux intervalles est faible, une réévaluation de l'incertitude expérimentale peut être effectuée.

De façon générale, si l'écart entre la valeur mesurée et la valeur théorique est du même ordre de grandeur que l'incertitude-type, alors la mesure est validée.
Si cet écart est différent de l'incertitude-type d'un facteur supérieur à 10, elle n'est pas validée.

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Incertitudes et chiffres significatifs

AErreur et incertitude

BIncertitude de mesure

Incertitude estimée, dite de type B

Précision d'une mesure

CChiffres significatifs

Précision d'un résultat à la lecture des données utilisées

Précision d'une grandeur X à la lecture de l'incertitude u(X)

DEstimation de la réussite d'une mesure

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A
Erreur et incertitude

B
Incertitude de mesure

C
Chiffres significatifs

D
Estimation de la réussite d'une mesure