L'image d'un point \text{M} par la rotation de centre \bm{\text{O}} et d'angle \bm{\alpha} est le point \text{M}^\prime tel que \text{OM = OM}^\prime et \widehat{\mathrm{MOM}^{\prime}}=\alpha.
Lorsque l'on transforme une figure du plan par une rotation, on la fait tourner autour d'un point d'une mesure d'angle donnée et dans un sens donné.

On peut choisir d'effectuer la rotation dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) ou dans le sens antihoraire (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Sur la figure suivante, \text{M}^\prime est l'image de \text{M} par la rotation de centre \text{O} et d'angle 50° dans le sens antihoraire et \text{M}^{\prime\prime} est l'image de \text{M} par la rotation de centre \text{O} et d'angle 50° dans le sens horaire.

Une figure et son image par rotation sont superposables. Ainsi les longueurs, les mesures d'angles, le parallélisme et les aires sont conservés.

• L'image du point \text{O} par une rotation de centre \text{O} est le point \text{O.} On dit que le centre de la rotation est un point invariant par cette rotation.
• Une rotation de centre \text{O} et d'angle 180° est équivalente à une symétrie centrale quel que soit le sens de la rotation.

Tous les triangles de la figure suivante sont des triangles équilatéraux.


1. Quelle est l'image de \text{F} par la rotation de centre \text{E} et d'angle 60° dans le sens antihoraire ?
2. Quelle est l'image de \text{F} par la rotation de centre \text{E} et d'angle 120° dans le sens horaire ?
3. Quelle est l'image de \text{I} par la rotation de centre \text{K} et d'angle 60° dans le sens horaire ?

On cherche le point image du point cité tel que :

• les distances entre le centre de la rotation et ces deux points soient égales ;
• l'angle formé par ces trois points ait la mesure donnée en veillant bien à respecter le sens de rotation.

1. Le triangle \text{EFB} est équilatéral donc \text{EF = EB} et \widehat{\text{FEB}} = 60°.
L'image de \text{F} est le point \text{B.}
2. L'image de \text{F} est le point \text{I.}
3. L'image de \text{I} est le point \text{B.}

Construire \text{A}^\prime l'image du point \text{A} par la rotation de centre \text{O} et d'angle 50° dans le sens antihoraire.

• On trace le segment \text{[OA].}
• On utilise le rapporteur pour tracer l'angle \widehat{\mathrm{AO} x} tel que \widehat{\mathrm{AO} x}=50°.
  On fait bien attention au sens de la rotation.
• Enfin, on reporte la longueur \text{OA} afin de tracer le point \text{A}^\prime appartenant à [\text{O}x) tel que \text{OA = OA}^\prime.

Soit \text{O} un point du plan et k un nombre non nul. On appelle homothétie de centre \text{O} et de rapport k non nul la transformation qui, à un point \text{M} donné, associe le point image \text{M}^\prime tel que :

• les points \text{O,} \text{M} et \text{M}^\prime sont alignés ;
• si k > 1 les points \text{O,} \text{M} et \text{M}^\prime sont alignés dans cet ordre et {\mathrm{OM}^{\prime}=k \times \mathrm{OM}} ;
• si 0 \lt k \lt 1 les points \text{O,} \text{M}^\prime et \text{M} sont alignés dans cet ordre et {\mathrm{OM}^{\prime}=k \times \mathrm{OM}} ;
• si k \lt 0 les points \text{M}^\prime, \text{O} et \text{M} sont alignés dans cet ordre et {\mathrm{OM}^{\prime}=-k \times \mathrm{OM}}.

Lorsque l'on transforme une figure du plan par une homothétie, on la déplace par rapport à un point tout en la réduisant ou l'agrandissant d'un coefficient donné.

Si k = 1 alors \text{M} et \text{M}^\prime sont confondus. Si {k = -1} alors \text{M} et \text{M}^\prime sont symétriques par rapport au point \text{O.}

Dans l'homothétie de centre \text{O} et de rapport 2, le point \text{M}^\prime est l'image de \text{M.}

Les points \text{O,} \text{M} et \text{M}^\prime sont alignés et {\text{OM}^{\prime} = 2 \times \text{OM} = 2 \times 2{,}5 = 5~\text{cm}.}

Dans l'homothétie de centre \text{O} et de rapport -0{,}5, le point \text{M}^{\prime\prime} est l'image de \text{M.}

Les points \text{M}^{\prime\prime}, \text{O} et \text{M} sont alignés et {\text{OM}^{\prime\prime} = 0{,}5 \times \text{OM} = 0{,}5 \times 2{,}5 = 1{,}25~\text{cm}.}

Sur la figure suivante, \mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3} et \mathrm{M}_{4} sont respectivement les images de \text{M} par les homothéties de centre \text{O} et de rapports k_{1}, k_{2}, k_{3} et k_{4}. Déterminer k_{1}, k_{2}, k_{3} et k_{4}.

• Soit \mathrm{M}^{\prime} l'image de \text{M} par l'homothétie de centre \text{O} et de rapport k.
• Si les points \text{O,} \text{M} et \mathrm{M}^{\prime} sont alignés dans cet ordre alors {k > 1.}
  Si les points \text{O,} \mathrm{M}^{\prime} et \text{M} sont alignés dans cet ordre alors {0 \lt k \lt 1.}
  Si les points \mathrm{M}^{\prime}, \text{O} et \text{M} sont alignés dans cet ordre, alors {k \lt 0.}
• On détermine k en effectuant le rapport \frac{\mathrm{OM}^{\prime}}{\mathrm{OM}}.

Construire l'image du polygone \text{ABCD} par l'homothétie de centre \text{O} et de rapport 1{,}8.

• Comme k > 1 alors les points \text{O,} \text{A} et \text{A}^\prime seront alignés dans cet ordre.
• On mesure la distance \text{OA} que l'on multiplie par, dans ce cas, k = 1{,}8, pour trouver la distance \text{OA}^\prime.
• On trace la demi‑droite [\text{OA}) et on place \text{A}^\prime de façon que {\text{OA}^\prime = k \times \text{OA} = 1{,}8 \times \text{OA}.}
• On fait de même pour les trois autres points.
• On trace le quadrilatère \text{A}^\prime \text{B}^\prime \text{C}^\prime \text{D}^\prime.