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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
Cours 1
Généralités sur les fonctions
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A
Modes de représentation
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Définitions
- Définir une fonction f sur un ensemble \text{D}, où \text{D} désigne \mathbb{R} ou une partie de \mathbb{R}, c'est associer à chaque réel x de \text{D} un unique réel, noté f(x).
- \text{D} est l'ensemble de définition de la fonction f.
- f(x) est appelé image de \bm{x} par la fonction \bm{f}.
- x est un antécédent de \bm{f(x)} par la fonction \bm{f}.
Notation
La fonction f, qui à x associe f(x), se note f: x \mapsto f(x).
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Exemple
Une fonction peut notamment être définie par une expression algébrique.
Par exemple, on considère la fonction f définie sur \mathrm{D}=[-5~; 5] par f(x)=x^{2}+2.
On a alors f(\textcolor{#b03550}{1})=\textcolor{#b03550}{1}^{2}+2=3. L'image de 1 par f vaut 3.
Par ailleurs, f(\textcolor{#2c85ba}{-1})=(\textcolor{#2c85ba}{-1})^{2}+2=1+2=3. L'image de -1 par f vaut également 3.
Ainsi -1 et 1 sont tous deux des antécédents de 3 par f.
Par exemple, on considère la fonction f définie sur \mathrm{D}=[-5~; 5] par f(x)=x^{2}+2.
On a alors f(\textcolor{#b03550}{1})=\textcolor{#b03550}{1}^{2}+2=3. L'image de 1 par f vaut 3.
Par ailleurs, f(\textcolor{#2c85ba}{-1})=(\textcolor{#2c85ba}{-1})^{2}+2=1+2=3. L'image de -1 par f vaut également 3.
Ainsi -1 et 1 sont tous deux des antécédents de 3 par f.
Remarque
Un réel peut avoir plusieurs antécédents par une fonction. En revanche, l'image d'un nombre par une fonction est unique.
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Définition
On se place dans un repère (\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}).
On considère une fonction f définie sur \text{D}.
La courbe représentative de la fonction \bm{f}, notée C_f, est l'ensemble des points de coordonnées (x~; f(x)), pour x parcourant l'ensemble \text{D}.
On considère une fonction f définie sur \text{D}.
La courbe représentative de la fonction \bm{f}, notée C_f, est l'ensemble des points de coordonnées (x~; f(x)), pour x parcourant l'ensemble \text{D}.
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Remarque
Cette courbe est également appelée « courbe d'équation y=f(x) ».
Le point de coordonnées (x~;y) appartient à cette courbe si, et seulement si, y=f(x).
Le point de coordonnées (x~;y) appartient à cette courbe si, et seulement si, y=f(x).
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Exemples
1. On considère une fonction f définie sur [-3~; 4] dont la courbe représentative C_f est donnée ci‑contre.
Le point de coordonnées (3~;2) se situe sur la courbe. On a donc f(3)=2.
Pour résoudre l'équation f(x) = 1, on cherche tous les antécédents de 1 par f.
Graphiquement, il s'agit de l'ensemble des abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée vaut 1. Les solutions de cette équation sont -2, -1 et 2.
Le point de coordonnées (3~;2) se situe sur la courbe. On a donc f(3)=2.
Pour résoudre l'équation f(x) = 1, on cherche tous les antécédents de 1 par f.
Graphiquement, il s'agit de l'ensemble des abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée vaut 1. Les solutions de cette équation sont -2, -1 et 2.
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2. Soit g la fonction définie sur [-2~; 2] par g(x)=x^{2}+x-2.
En calculant les images de différentes valeurs de x, on obtient le tableau suivant.
En calculant les images de différentes valeurs de x, on obtient le tableau suivant.
| \boldsymbol{x} | -2 | -1 | -0{,}5 | 0 | 1 | 2 |
| \boldsymbol{g(x)} | 0 | -2 | -2{,}25 | -2 | 0 | 4 |
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Remarque
Il est important de distinguer les notations f, C_f et f(x).
Lorsqu'on écrit f, on désigne la fonction f.
Lorsqu'on écrit C_f, on désigne la courbe représentative.
Lorsqu'on écrit f(x), on désigne un nombre.
Lorsqu'on écrit f, on désigne la fonction f.
Lorsqu'on écrit C_f, on désigne la courbe représentative.
Lorsqu'on écrit f(x), on désigne un nombre.
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Application et méthode - 1
Étudier la représentation graphique d'une fonction
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Énoncé
On considère la fonction f définie sur [-5~; 5] dont la courbe représentative C_f est donnée ci‑dessous dans un repère orthonormé.
1. Déterminer graphiquement f(-3).
2. Résoudre graphiquement l'équation f(x)= 1 sur [-5~; 5].
3. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)\lt-2 sur [-5~; 5].
1. Déterminer graphiquement f(-3).
2. Résoudre graphiquement l'équation f(x)= 1 sur [-5~; 5].
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Les valeurs de x se lisent sur l'axe horizontal et celles de f(x) sur l'axe vertical.
1. On cherche le point de la courbe qui a pour abscisse -3.
2. On cherche les abscisses des points de la courbe qui ont pour ordonnée 1.
3. On cherche les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée strictement inférieure à -2.
1. On cherche le point de la courbe qui a pour abscisse -3.
2. On cherche les abscisses des points de la courbe qui ont pour ordonnée 1.
3. On cherche les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée strictement inférieure à -2.
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B
Variations d'une fonction
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Définitions
On considère une fonction f définie sur un intervalle \text{I}.
On dit que f est croissante sur \text{I} lorsque, pour tous réels a et b de \text{I} tels que a \lt b, on a f(a) \leqslant f(b).
On dit que f est décroissante sur \text{I} lorsque, pour tous réels a et b de \text{I} tels que a \lt b , on a f(a) \geqslant f(b).
On dit que f est croissante sur \text{I} lorsque, pour tous réels a et b de \text{I} tels que a \lt b, on a f(a) \leqslant f(b).
On dit que f est décroissante sur \text{I} lorsque, pour tous réels a et b de \text{I} tels que a \lt b , on a f(a) \geqslant f(b).
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Remarque
On parle de stricte croissance et de stricte décroissance lorsque les inégalités entre f(a) et f(b) sont strictes, c'est‑à‑dire f(a) \lt f(b) ou f(a)>f(b).
Remarque
Une fonction croissante sur un intervalle conserve le sens de l'inégalité alors qu'une fonction décroissante l'inverse.
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Application et méthode - 2
Construire un tableau de variations
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Énoncé
Soit f une fonction dont on donne ci‑dessous la représentation graphique C_f.
Construire le tableau de variations de f sur son ensemble de définition.
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Solution
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1. On repère visuellement les variations de la fonction en repérant si sa courbe représentative monte ou descend.
2. On place les flèches correspondantes dans le tableau.
3. On relève les coordonnées des points correspondant aux « ruptures de variations » (en rouge) et aux bornes de l'ensemble de définition (en bleu).
2. On place les flèches correspondantes dans le tableau.
3. On relève les coordonnées des points correspondant aux « ruptures de variations » (en rouge) et aux bornes de l'ensemble de définition (en bleu).
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