Mathématiques 1re Techno

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Chapitre 2
L'essentiel

Fonctions de la variable réelle

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Fiche méthode

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1
Analyser une représentation graphique

Maths 1re Techno - Fonctions de la variable réelle - L'essentiel - Analyser une représentation graphique

  • La courbe représentative d'une fonction f est formée par l'ensemble des points de coordonnées (x~; f(x)), où x \in \mathrm{D}.

  • Le point de coordonnées (x~;y) appartient à la courbe représentative de f si, et seulement si, y=f(x).

  • L'ensemble de définition de f se lit sur l'axe des abscisses.

  • Les images f(x) se lisent sur l'axe des ordonnées.

  • Les antécédents et les solutions d'(in)équations se lisent sur l'axe des abscisses.

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2
Étudier des fonctions du type \boldsymbol{x \mapsto a x^{2}+c}, \boldsymbol{a \neq 0}

  • La courbe représentative d'une telle fonction est une parabole dont le sommet a pour coordonnées (0~; c) et admettant une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

  • Si a > 0, la fonction est strictement décroissante sur ]-\infty~; 0], puis strictement croissante sur [0 ~;+\infty[.
    Si a \lt 0, la fonction est strictement croissante sur ]-\infty~; 0], puis strictement décroissante sur [0 ~;+\infty[.

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3
Étudier des fonctions du type
\boldsymbol{x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}
ou
\boldsymbol{x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)},
\boldsymbol{a \neq 0}

  • Ces fonctions s'annulent uniquement en x_1 et en x_2 (et en x_3 pour la seconde). Ces réels sont les racines du polynôme.

  • On étudie le signe de cette fonction à l'aide d'un tableau de signe dans lequel apparaît le signe de a, le signe de x-x_1 et le signe de x-x_2 (et le signe de x-x_3 pour la seconde fonction). On conclut à l'aide de la règle des signes.

  • La courbe représentative de la fonction x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est une parabole dont le sommet a pour abscisse \frac{x_{1}+x_{2}}{2}. Elle est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}.

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4
Étudier des fonctions du type \boldsymbol{x \mapsto a x^{3}+d}, \boldsymbol{a \neq 0}

  • Si a > 0, la fonction est strictement croissante sur \mathbb{R}. Si a \lt 0, la fonction est strictement décroissante sur \mathbb{R}.

  • Pour tout réel \alpha, l'équation x^3 = \alpha admet une unique solution notée \sqrt[3]{\alpha} ou \alpha^{\normalsize{\tfrac{1}{3}}}.

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Carte mentale

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Placeholder pour Carte mentale de maths sur les fonctions de la variable réelle, illustrant les fonctions du second et troisième degré avec leurs courbes représentatives.Carte mentale de maths sur les fonctions de la variable réelle, illustrant les fonctions du second et troisième degré avec leurs courbes représentatives.

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