Décrire le sens de variations des fonctions suivantes, définies sur \mathbb{R}.

1. f: x \mapsto-3 x^{3}

2. g: x \mapsto 2 x^{3}-1

3. h: x \mapsto 2-4 x^{3}

Pour tout réel x, on pose f(x)=2 x^{3}+3.

1. Quelle est l'image de -1 par f ?

2. Résoudre dans \mathbb{R} l'équation f(x) = 57.

On fixe quatre réels a, x_1, x_2 et x_3. La courbe ci‑dessous est la représentation graphique de la fonction f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right), définie sur \mathbb{R}.


1. Déterminer graphiquement les valeurs de x_1, x_2 et x_3.

2. Déterminer graphiquement f(0) et en déduire la valeur de a.

3. Construire le tableau de signe de la fonction f.

Une entreprise fabrique des bouteilles en verre. La production quotidienne, exprimée en tonne, varie entre 0 et 10. Pour l'entreprise, le coût correspondant à la fabrication de x tonnes de bouteilles, exprimé en millier d'euros, est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle [0~; 10] par f(x)=0,5 x^{3}-3,5 x^{2}+20 x+50.
L'entreprise vend ses bouteilles au prix de 40 milliers d'euros la tonne.

1. On note \text{B} la fonction bénéfice.
Justifier que pour tout x \in[0~; 10]~:

\mathrm{B}(x)=-0,5 x^{3}+3,5 x^{2}+20 x-50.

2. On admet que pour tout réel x : Construire le tableau de signe de \text{B.}

3. En déduire pour quelles productions l'entreprise réalise un bénéfice.

Donner une expression algébrique d'une fonction polynôme du troisième degré f telle que l'unique solution de l'équation f(x) = 5 est -3.

Donner une expression développée d'une fonction polynôme de degré 3 admettant pour racines -2, 0 et 4.