Une entreprise fabrique des objets qu'elle vend ensuite au prix de 12 € l'unité. Pour x objets vendus, le chiffre d'affaires de cette entreprise s'élève donc à g(x)=12 x~€.
Par ailleurs, le coût de fabrication de x objets s'élève à f(x)~€, où f est une fonction définie sur [0~; 50].
Les représentations graphiques des fonctions f et g sont données ci‑dessous dans un repère orthogonal.


Partie A : Lecture graphique

1. Par lecture graphique, déterminer le coût de fabrication de 10 objets.

2. Déterminer graphiquement les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de f et de g.

3. Interpréter la réponse donnée à la question précédente dans le contexte de l'exercice.

Partie B : Étude algébrique

On admet que pour toutx \in[0~; 50] :
4. Montrer que, pour tout x \in[0~; 50], le bénéfice \mathrm{B}(x) de l'entreprise vaut \mathrm{B}(x)=g(x)-f(x)=-x^{2}+52 x-480.

5. a. Montrer que pour tout x \in[0~; 50] :

\mathrm{B}(x)=-(x-40)(x-12).

b. Construire le tableau de signe de \text{B}. En déduire les valeurs de x pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice.

6. a. Dresser le tableau de variations de la fonction \text{B} sur [0~; 50]. On pensera à faire apparaître les valeurs de \mathrm{B}(0) et de \mathrm{B}(50).

b. Pour quelle production d'objets le bénéfice de l'entreprise est‑il maximal ? Que vaut alors ce bénéfice ?

Un objet est lâché depuis un pont qui se situe au dessus d'une rivière. La hauteur de l'objet par rapport à la rivière en fonction du temps est représentée ci‑dessous.


1. À quelle hauteur se situe le pont par rapport à la rivière ?

2. Donner une approximation graphique du temps auquel l'objet touche l'eau.

3. On peut démontrer, grâce aux lois de Newton, qu'au temps t, la hauteur de l'objet vaut h(t)=-\frac{1}{2} g t^{2}+30, où g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} désigne l'accélération de la pesanteur.
Répondre avec plus de précision aux questions 1. et 2. en exploitant l'expression algébrique de h.

D'après bac ST2S, Métropole, 2013

Pour traiter un patient, un médecin procède à l'injection intramusculaire d'une dose d'une substance médicamenteuse au temps t = 0, t étant exprimé en heure.
Le produit actif se diffuse dans le sang puis est progressivement éliminé. Le médicament est efficace lorsque la concentration du produit actif dans le sang est supérieure ou égale à 25 mg/L (25 milligrammes par litre).
La concentration maximale du produit actif dans le sang ne peut pas dépasser 40 mg/L pour éviter des effets secondaires.

Partie A : Étude graphique

La courbe donnée ci‑dessous représente la concentration en mg/L du produit actif dans le sang du malade en fonction du temps écoulé depuis l'injection du médicament.


À l'aide de cette courbe, répondre, avec la précision qu permet le graphique, aux questions suivantes.

1. Déterminer la concentration du produit actif pour t = 5 \text{ h}.

2. Le médecin a‑t‑il respecté la dose à ne pas dépasser ? Expliquer.

3. Déterminer les temps, en heure et en minute, auxquels la concentration du produit actif est de 15 mg/L.

4. Quelle est la durée pendant laquelle le médicament est resté efficace ?

5. Au bout de quelle durée le médicament est‑il complètement éliminé ?

Partie B : Étude numérique

On admet que la concentration, exprimée en mg/L, du produit actif dans le sang du malade est donnée en fonction du temps t, exprimé en heure, par la fonction f définie sur l'intervalle [0~; 6] par : f(t)=t^{3}-12 t^{2}+36 t.

6. Montrer que, pour tout t dans [0~; 6], f(t)=t(t-6)^{2}.

7. En déduire les solutions de l'équation f(t) = 0 et interpréter ces solutions dans le cadre de l'exercice.

Un joueur renvoie une balle de tennis. La hauteur de la balle en fonction de la distance à ce joueur est modélisée par une fonction f dont la courbe représentative est donnée ci‑dessous.


1. Déterminer graphiquement :
a. la distance parcourue horizontalement lorsque la balle touche le sol.

b. la distance parcourue horizontalement lorsque la balle atteint sa hauteur maximale.

2. On admet que cette courbe est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0~; 11] :
a. Calculer f(11). Que retrouve‑t‑on ?

b. Montrer que -3 est une racine de f.

c. En déduire une forme factorisée de f.

d. Retrouver par le calcul l'équation de l'axe de symétrie de la courbe représentative de f.

e. En utilisant la symétrie de la courbe représentative de f, résoudre l'équation f(x)=1{,}65.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

3. Pour tout réel x \in[0~; 11], on pose :
a. Montrer que pour tout x \in[0~; 11] :

g(x)=-x(0{,}05 x-0{,}4).

b. Résoudre l'équation g(x)=0 sur [0~; 11].

c. En déduire la distance parcourue horizontalement lorsque la balle repasse sous la barre des 1,65 m de hauteur.

Le cube d'un nombre est‑il toujours plus grand que son carré ?

Le viaduc de Gabarit, construit de 1880 à 1884, possédait alors l'arche ayant la plus grande portée du monde.
La distance entre la base des deux piliers principaux est de 165 mètres. Chaque pilier a une hauteur de 58 mètres.
On construit un repère orthonormé en plaçant l'origine à la base du premier pilier. Donner une équation de l'arche parabolique de ce viaduc.