Une entreprise fabrique et vend des composants électroniques pour smartphones. On note x le nombre de dizaines de composants fabriqués par jour. Le coût de production, en dizaine d'euros, peut être représenté par la courbe ci‑dessous..

1. À l'aide du graphique ci‑dessus, déterminer le coût de production de 80 composants.

2. La recette de l'entreprise lorsqu'elle produit et vend x dizaines de composants est modélisée par la fonction \mathrm{R} définie par \mathrm{R}(x)=15 x, toujours exprimée en dizaine d'euros.
Tracer la représentation graphique de la fonction \text{R} dans un repère orthogonal. On prendra 1 cm pour une dizaine de composants en abscisses et 50 € en ordonnées.


3. Le résultat net de l'entreprise lorsqu'elle produit et vend x dizaines de composants est modélisée par la fonction \text{B} définie par \mathrm{B}(x)=15 x-x^{2}-36.
Vérifier que, pour tout x appartenant à l'intervalle [0~; 15], \mathrm{B}(x)=(3-x)(x-12).

4. Dresser le tableau de signe de la fonction \text{B} sur l'intervalle [0~; 15].

5. On rappelle que l'entreprise réalise un bénéfice lorsque le résultat net est positif.
Déterminer combien de composants cette entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice.

1. L'axe des abscisses est gradué en dizaines de composants, on demande donc le coût pour 8 dizaines de composants. Il faut alors regarder l'image de 8 sur le graphique. On lit que \mathrm{C}(8)=100. Le coût de fabrication est donc de 100 dizaines d'euros, soit 1 000 €.

2. La droite passe par l'origine du repère. Sa pente vaut 15, elle passe donc également par le point de coordonnées (1~; 15).
On obtient donc la droite C_{\mathrm{R}} dans le repère ci‑dessous.


3. Plusieurs méthodes sont possibles :

MÉTHODE 1
Pour tout réel x :
(3-x)(x-12)=3 x-12 \times 3-x \times x+12 x=15 x-x^{2}-36.

MÉTHODE 2
On vérifie que \mathrm{B}(3)=0 et \mathrm{B}(12)=0. Ainsi, pour tout réel x, \mathrm{B}(x)=-(x-3)(x-12)=(3-x)(x-12).

4.

5. \mathrm{B}(x) \geqslant 0 lorsque x \in[3~; 12]. L'entreprise doit donc produire et vendre entre 30 et 120 composants pour réaliser un bénéfice.

On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=x^{2}+2 x-3.

1. Parmi les nombres a, b et c suivants, lesquels sont des racines de f~?
a. a = 1.

b. b = 2.

c. c = -3.

2. Montrer que la forme factorisée de la fonction f est f(x)=(x-1)(x+3).

3. Étudier le signe de la fonction f.

4. Parmi les trois courbes \text{A}, \text{B} et \text{C} suivantes, déterminer celle représentant la fonction f.

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5. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

Soit f la fonction polynôme du second degré, définie sur \mathbb{R} et représentée par la parabole ci‑dessous.



1. Par lecture graphique :
a. donner l'image de 0 par f ;

b. déterminer les racines de f ;

c. donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = 1.

2. Expliquer pourquoi f(x) peut s'écrire sous la forme f(x)=2(x+1)(x-2).

3. Pour trouver un encadrement de la solution de l'équation f(x) = 1 dans l'intervalle [2~; 3], on a écrit les fonctions Python ci‑dessous.

L'instruction \color{purple}\bf{balayage(0.0001)} renvoie le résultat \color{purple}\bf{(2.1583, 2.1584)}. Que signifie ce résultat ?