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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 2
Cours 2
Fonctions polynômes du second degré
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A Généralités
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Définition
Soit f une fonction définie sur \mathbb{R}. On dit que f est une fonction polynôme du second degré lorsqu'il existe trois réels a, b et c, avec a \neq 0, tels que pour tout réel x :
f(x)=a x^{2}+b x+c.
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Exemple
Pour tout réel x, on pose f(x)=3 x^{2}+5 x-1, g(x)=-2 x^{2}+3 x et h(x)=1-5 x^{2}.
f, g et h sont des fonctions polynômes du second degré.
f, g et h sont des fonctions polynômes du second degré.
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Définition
La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré dans un repère orthogonal est une parabole.
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Définition
Soient a, b et c trois réels tels que a \neq 0. Pour tout réel x, on pose f(x)=a x^{2}+b x+c.
On dit que x_0 est une racine du polynôme a x^{2}+b x+c lorsque f\left(x_{0}\right)=0.
On dit que x_0 est une racine du polynôme a x^{2}+b x+c lorsque f\left(x_{0}\right)=0.
Remarque
Cette notion s'étend aux polynômes de degré différent de 2.
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Exemple
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=2 x^{2}-3 x+1.
f(1)=2 \times 1^{2}-3 \times 1+1=0. Donc 1 est une racine du polynôme 2 x^{2}-3 x+1.
f(1)=2 \times 1^{2}-3 \times 1+1=0. Donc 1 est une racine du polynôme 2 x^{2}-3 x+1.
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B Fonction du type x \mapsto a x^{2}+c
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Propriété
La courbe représentative de la fonction f: x \mapsto a x^{2}+c est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction f est donc paire, sous réserve que son ensemble de définition soit bien symétrique par rapport à 0.
La fonction f est donc paire, sous réserve que son ensemble de définition soit bien symétrique par rapport à 0.
Remarque
Pour les fonctions de ce type, on a f(0)=c. Le nombre c peut donc se lire à l'intersection de la courbe représentative de la fonction et de l'axe des ordonnées.
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Propriété
Soient a un réel non nul et c un réel.
Si a > 0, alors la fonction f: x \mapsto a x^{2}+c est strictement décroissante sur ]-\infty~; 0] et strictement croissante sur [0~;+\infty[.
Si a \lt 0, alors la fonction f: x \mapsto a x^{2}+c est strictement croissante sur ]-\infty~; 0] et strictement décroissante sur [0~;+\infty[.
Si a > 0, alors la fonction f: x \mapsto a x^{2}+c est strictement décroissante sur ]-\infty~; 0] et strictement croissante sur [0~;+\infty[.
Si a \lt 0, alors la fonction f: x \mapsto a x^{2}+c est strictement croissante sur ]-\infty~; 0] et strictement décroissante sur [0~;+\infty[.
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Remarque
Lorsque a > 0, les branches de la parabole sont tournées vers le haut.
Lorsque a \lt 0, elles sont tournées vers le bas.
Lorsque a \lt 0, elles sont tournées vers le bas.
À visualiser dans ce module GeoGebra.
GeoGebra
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Propriété
Soit d un réel strictement positif.
L'équation x^2=d possède exactement deux solutions qui sont \sqrt d et -\sqrt d.
L'équation x^2=d possède exactement deux solutions qui sont \sqrt d et -\sqrt d.
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Remarque
Attention à ne pas oublier une des deux solutions, notamment la solution négative !
Remarque
Si d \lt 0, alors cette équation n'a pas de solution réelle.
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Exemple
x^{2}=25 \Leftrightarrow x=\sqrt{25} ou x=-\sqrt{25} \Leftrightarrow x=5 ou x=-5.
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Application et méthode - 3
Étudier une fonction de la forme \boldsymbol{x \mapsto ax^2 + c}
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Énoncé
On fixe deux réels a et c. La courbe représentative de la fonction f: x \mapsto a x^{2}+c est représentée ci‑dessous dans un repère orthonormé.
1. En s'aidant du graphique, trouver les valeurs des réels a et c.
2. Résoudre algébriquement l'équation f(x) = 4.
1. En s'aidant du graphique, trouver les valeurs des réels a et c.
2. Résoudre algébriquement l'équation f(x) = 4.
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Solution
1. D'après l'expression algébrique de la fonction, f(0)=a \times 0^{2}+c=c.
Or, sur la courbe, on lit que f(0)=-4.
Ainsi, c = -4.
Par ailleurs, en utilisant la formule, on sait que f(1)=a \times 1^{2}+(-4)=\textcolor{#b03550}{a-4}.
Or, d'après le graphique, f(1)=\textcolor{#2c85ba}{-2}.
Ainsi, \textcolor{#b03550}{a-4} = \textcolor{#2c85ba}{-2}, d'où a = 2.
Pour tout réel x, on a donc f(x)=2 x^{2}-4.
2. Résolvons algébriquement l'équation.
f(x)=4 \Leftrightarrow 2 x^{2}-4=4 \Leftrightarrow 2 x^{2}=8 \Leftrightarrow x^{2}=4 \Leftrightarrow x=2 ou x=-2.
Pour s'entraîner : exercices et
Or, sur la courbe, on lit que f(0)=-4.
Ainsi, c = -4.
Par ailleurs, en utilisant la formule, on sait que f(1)=a \times 1^{2}+(-4)=\textcolor{#b03550}{a-4}.
Or, d'après le graphique, f(1)=\textcolor{#2c85ba}{-2}.
Ainsi, \textcolor{#b03550}{a-4} = \textcolor{#2c85ba}{-2}, d'où a = 2.
Pour tout réel x, on a donc f(x)=2 x^{2}-4.
2. Résolvons algébriquement l'équation.
f(x)=4 \Leftrightarrow 2 x^{2}-4=4 \Leftrightarrow 2 x^{2}=8 \Leftrightarrow x^{2}=4 \Leftrightarrow x=2 ou x=-2.
Pour s'entraîner : exercices et
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1. Le réel c se lit à l'intersection de la courbe de la fonction et de l'axe des ordonnées. Pour déterminer a, on utilise la valeur que prend la fonction en un autre réel (en 1 par exemple).
2. On se ramène à une équation du type x^2=d.
2. On se ramène à une équation du type x^2=d.
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C Fonction du type \boldsymbol{x \mapsto a(x-x_1)(x-x_2)}
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Propriété
Soient a un réel non nul, x_1 et x_2 deux réels.
La fonction f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est une fonction polynôme de degré 2.
La fonction f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est une fonction polynôme de degré 2.
Remarque
a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est appelée forme
factorisée de f.
Si on la développe, on obtient une expression du type a x^{2}+b x+c, ce qui correspond bien à l'expression d'une fonction polynôme du second degré.
Si on la développe, on obtient une expression du type a x^{2}+b x+c, ce qui correspond bien à l'expression d'une fonction polynôme du second degré.
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Propriété
Soient a un réel non nul, x_1 et x_2 deux réels tels que x_{1} \leqslant x_{2}.
Le tableau de signe de la fonction f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est :
Le tableau de signe de la fonction f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) est :
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Propriétés
Soit a un réel non nul, x_1 et x_2 deux réels.
La courbe représentative de f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), définie sur \mathbb{R}, est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}.
De plus :
À visualiser dans ce module GeoGebra :
La courbe représentative de f: x \mapsto a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), définie sur \mathbb{R}, est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}.
De plus :
- si a > 0, f admet un minimum en \frac{x_{1}+x_{2}}{2} ;
- si a \lt 0, f admet un maximum en \frac{x_{1}+x_{2}}{2}.
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À visualiser dans ce module GeoGebra :
GeoGebra
Remarque
L'équation a x^{2}+b x+c=0 peut ne pas admettre de solutions ou n'en avoir qu'une seule.
Cependant, elle ne peut pas en avoir plus de 2 lorsque a \neq 0.
Cependant, elle ne peut pas en avoir plus de 2 lorsque a \neq 0.
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Propriété : Factorisation d'un polynôme du second degré
Propriété : Factorisation d'un polynôme du second degré
Soient trois réels a, b et c, avec a \neq 0. S'il existe deux solutions distinctes x_1 et x_2 à l'équation a x^{2}+b x+c=0, alors, pour tout réel x, ax^{2}+b x+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right).
Remarque
Dans le cas où x_{1}=x_{2}, la forme factorisée s'écrit alors a\left(x-x_{1}\right)^{2}.
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Application et méthode - 4
Étudier une fonction polynôme du second degré
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Énoncé
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=3 x^{2}-9 x+6.
1. a. Calculer f(1) et f(2).
b. En déduire une forme factorisée de f.
2. Déterminer le tableau de signe de la fonction f sur \mathbb{R}.
3. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole associée à la fonction f.
1. a. Calculer f(1) et f(2).
b. En déduire une forme factorisée de f.
2. Déterminer le tableau de signe de la fonction f sur \mathbb{R}.
3. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole associée à la fonction f.
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Solution
1. a. On a f(1)=3 \times 1^{2}-9 \times 1+6=0 et, de même, f(2)=0.
b. On a f(1)=0 et f(2)=0 donc 1 et 2 sont les racines du polynôme f.
Ainsi, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=3(x-1)(x-2).
2.
3. Le sommet de la parabole a pour abscisse \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{1+2}{2}=1,5.
Son ordonnée est f(1{,}5)=-0{,}75. Donc le sommet de la parabole a pour coordonnées (1{,}5~;-0{,}75).
Pour s'entraîner : exercices et
b. On a f(1)=0 et f(2)=0 donc 1 et 2 sont les racines du polynôme f.
Ainsi, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=3(x-1)(x-2).
2.
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3. Le sommet de la parabole a pour abscisse \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{1+2}{2}=1,5.
Son ordonnée est f(1{,}5)=-0{,}75. Donc le sommet de la parabole a pour coordonnées (1{,}5~;-0{,}75).
Pour s'entraîner : exercices et
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1. On détermine les racines du polynôme, puis on utilise la propriété de factorisation : a x^{2}+b x+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right).
2. On utilise la propriété sur le signe des fonctions polynômes de degré 2.
3. Lorsque x_1 et x_2 existent, le sommet de la parabole a pour abscisse x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} et pour ordonnée f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right).
2. On utilise la propriété sur le signe des fonctions polynômes de degré 2.
3. Lorsque x_1 et x_2 existent, le sommet de la parabole a pour abscisse x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} et pour ordonnée f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right).
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