Les nombres négatifs ont été découverts il y a plus de 2 000 ans. Cependant, l'Homme a eu de grandes difficultés à leur donner une interprétation concrète et donc, à les utiliser.

Pendant près de deux millénaires, les nombres négatifs apparaissent lors de l'application de méthodes algébriques. Leur première trace écrite remonte au livre chinois Les Neuf Chapitres sur l'Art Mathématique (II^e siècle av. J.-C.) où ils sont utilisés pour résoudre des systèmes d'équations. Pour les distinguer des nombres positifs, ils sont alors écrits dans une autre couleur ou en barrant le chiffre le plus à droite qui compose le nombre négatif.

On les retrouve en Inde au VII^e siècle dans les travaux du mathématicien Brahmagupta, en même temps que l'apparition du zéro. Ils sont alors présentés comme des dettes et notés surmontés d'un point. Le premier à utiliser la notation que l'on connaît d'un nombre précédé du signe - est l'astronome Tycho Brahe qui a aussi été le premier à découvrir une supernova. Enfin, c'est à l'utilisation en 1969 par Nicolas Bourbaki (mathématicien imaginaire sous le nom duquel se réunissait un groupe de mathématiciens francophones) de la notation \mathbb{Z} pour l'ensemble de tous les entiers relatifs que l'on doit la généralisation de ce symbole (\mathbb{Z} étant la première lettre du mot allemand Zahlen qui signifie nombres).

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Tycho Brahe (1546-1601)

En utilisant la notation du livre chinois, écrire les nombres \bold{987} et \bold{-987}.

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Activité 1
Somme et différence

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Objectif

Redécouvrir la somme et la différence de deux nombres relatifs.

Voir cours 1 p. 24

1
Loïs est à découvert sur son compte en banque. Il affiche -150 €. Malgré tout, elle doit payer sa facture d'électricité de 30 €.
Écrire l'addition de deux nombres relatifs qui permet de calculer le montant du découvert sur son compte en banque après avoir payé la facture. Calculer alors la somme et interpréter le résultat.

2
La Première Guerre mondiale a débuté en 1914 et s'est achevée en 1918. La guerre des Gaules a débuté en -58 et s'est achevée en -50. Les guerres perso-romaines ont débuté en -100 et ont fini en +224.
Calculer la durée de chacune de ces guerres.

Bilan

Comment additionne-t-on deux nombres de même signe ? De signes différents ? Comment soustrait-on deux nombres de même signe ?

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Activité 2
Être négatif, c'est parfois positif

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Objectif

Multiplier et diviser deux nombres relatifs.

Voir cours 2 p. 24

1
On cherche à calculer le nombre {\text{A}=5 \times(-2)}. a) Expliquer pourquoi \text{A}=(-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2).

b) Calculer alors la valeur de \text{A}.

c) Expliquer pourquoi on peut alors écrire {\text{A}=-(5 \times 2)}.

d) Peut-on également dire que {\text{A}=(-2) \times 5} ? Justifier.

e) En utilisant la même méthode, calculer les nombres {4 \times(-3),\;} {5 \times(-9),\;} {(-6) \times 7} et {(-8) \times 2}.

2
On souhaite maintenant calculer le nombre {\text{B}=(-5) \times(-2)}. a) Calculer {(-1) \times 5} et {(-1) \times 2}.

b) Justifier alors que \text{B}=(-1) \times(-1) \times 5 \times 2.

c) À l'aide de la calculatrice, donner le résultat de {(-1) \times(-1)}. En déduire alors la valeur de \text{B}.

d) Peut-on également dire que {\text{B}=(-2) \times(-5)} ? Justifier.

e) En utilisant la même méthode, calculer les nombres {(-4) \times(-3),\;}{(-2) \times(-9),\;}{(-6) \times(-5)} et {(-7) \times(-8)}.

3
Dans le cas général, on multiplie deux nombres relatifs a et b.
Recopier et compléter le tableau ci-après en écrivant + lorsque le produit a \times b est positif et - lorsque le produit a \times b est négatif.

Signe de a \times b	a est négatif	a est positif
b est négatif
b est positif

4
a) Calculer les nombres suivants : \text{C}=(-2) \times(-5) \times 8,\; \text{D}=(-6) \times(-3) \times(-4) et \text{E}=(-7) \times(-1) \times(-2) \times(-4).

b) En utilisant les résultats de la question a), deviner sans faire de calcul le signe des nombres suivants : (-1) \times(-3) \times(-8) \times(-7) et (-2) \times(-5) \times(-6).

5

a) On sait que {6 \times 4=24}. Quelle est alors la valeur de {24 \div 4} ? De {24 \div 6} ?

b) Calculer {(-6) \times 4} et en déduire la valeur de {(-24) \div 4} puis celle de {(-24) \div 6}.

c) Calculer {(-7) \times(-8)} et en déduire la valeur de {56 \div(-7)} puis celle de {56 \div(-8)}.

d) Reproduire le même tableau que celui de la question 3
mais le compléter avec le signe du quotient {a \div b} (avec {b \neq 0} ).

Bilan

Quelles propriétés peut-on établir à propos du signe du produit et du quotient de plusieurs nombres relatifs ?

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Activité 1Somme et différence

Activité 2Être négatif, c'est parfois positif

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Somme et différence

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Être négatif, c'est parfois positif