✔ Calculer la longueur du méridien terrestre ou le rayon de la Terre

Dans le film Seul sur Mars, l'astronaute Mark Watney est laissé pour mort par ses coéquipiers qui quittent la planète après une violente tempête. Mais Mark a survécu. Ses journées sont occupées par différentes activités en attendant qu'une mission de secours vienne le récupérer. Il veut calculer le rayon de Mars avec du matériel basique. Il se positionne dans une zone très dégagée de tout relief. Il fixe un pointeur laser sur un support à la hauteur h= 1,70 m. Il pointe avec ce dispositif la pierre la plus lointaine qu'il puisse voir à l'horizon. La distance du laser à la pierre est égale à d= 3 395 m.

1. Faites un schéma de la situation en positionnant la pierre, le pointeur laser, le centre de Mars, ainsi que les différentes grandeurs évoquées.
2. Calculez la valeur du rayon de Mars R_{\mathrm{M}} à partir des mesures de Watney.

3. Comparez cette valeur avec la valeur estimée R_{\mathrm{M} \text {,astro }} par les astronomes de 3 390 km. On pourra s'appuyer sur le calcul de l'écart relatif \varepsilon=\frac{\left|R_{\mathrm{M}, \text { astro }}-R_{\mathrm{M}}\right|}{R_{\mathrm{M}, \text { astro }}}.

✔ Utiliser un système d'information géographique pour comparer les longueurs de différents chemins

Après une escale, le voilier Arpège quitte le rivage. Un spectateur allongé sur la plage effectue des mesures par la méthode de visée afin de déterminer la distance qui le sépare du voilier. Pour cela, il vise le voilier à travers une règle qu'il positionne verticalement à 72 cm de ses yeux. Il mesure alors une hauteur du voilier de 1,3 cm vue à travers sa règle. Le bateau mesure en réalité 25 m.

Rayon de la Terre : R_{\mathrm{T}}= 6 370 km

1. Faites un schéma de la situation et déterminez à quelle distance d se trouve le voilier de la personne sur la plage. On utilisera les relations de proportionnalité énoncées dans le théorème de Thalès.
2. Le voilier s'éloigne et finit par disparaître sous l'horizon en 40,0 min. Déterminez à quelle distance D il se trouve à ce moment-là du spectateur sur la plage.

3. Le voilier continue sa navigation à vitesse constante en suivant un cap précis lui permettant d'effectuer la plus courte distance possible entre le port français de la Rochelle et le port de Miami aux États-Unis. À l'aide du site

Distance

, déterminez la durée nécessaire pour rallier les deux ports.

✔ Donner des preuves de la rotondité de la Terre

Aristarque de Samos (310-230 av. J.‑C.) a observé les éclipses de Lune (passage de la Lune dans l'ombre de la Terre). Il a constaté que le diamètre de la Lune pouvait se reporter trois fois dans le disque d'ombre de la Terre.

Rayon de la Terre : R_{\mathrm{T}}=6 370 km

La Lune peut être complètement éclipsée pendant 3,5 h. Sachant qu'elle effectue un tour complet autour de la Terre en 28 jours, déterminez la distance Terre-Lune en considérant l'orbite de la Lune parfaitement circulaire.