Le tracé de rayons lumineux

Cette même expérience effectuée à Alexandrie, à la même date et à la même heure, montre alors qu'un objet comparable a bel et bien une ombre. De ce constat, en admettant que le Soleil est assez éloigné pour que les rayons lumineux arrivent parallèles entre eux et que les villes de Syène et d'Alexandrie se trouvent sur le même méridien, il déduit que les rayons du Soleil à Alexandrie devraient être inclinés de 7,2° par rapport à la verticale.
La distance entre les villes de Syène et d'Alexandrie aurait été estimée par Ératosthène à 5 000 stades (la longueur d'un stade étant alors fixée à 157,5 m) grâce à de multiples mesures réalisées à l'époque. Une légende largement répandue mais qui ne s'appuie sur aucune transcription historique, raconte qu'il aurait déterminé cette distance en comptant les pas réguliers de chameaux.

Circonférence : longueur du plus grand cercle que l'on peut tracer sur une sphère.

Méridien : demi-cercle imaginaire passant par les deux pôles terrestres.

Zénith : point du ciel situé à la verticale de l'observateur.

• Longueur du périmètre p d'un cercle de rayon R: p=2 \pi \cdot R
• Longueur \ell d'un arc de cercle de rayon R et d'angle \alpha exprimé en radian (\mathrm{rad}): \ell=\alpha \cdot R
• Conversion d'unités d'angles : 2 \pi \mathrm{~rad}=360^{\circ}

1. Doc. 1 Exprimez la distance entre Alexandrie et Syène avec les mesures d'Ératosthène en mètre (m).

2. Doc. 2 Déduisez-en par le calcul le rayon de la Terre en utilisant la relation liant la longueur d'un arc de cercle \ell et son rayon R.

3. Estimez la longueur du méridien terrestre et la circonférence de la Terre.

4. Comparez qualitativement cette valeur à celle admise aujourd'hui à 6 370 km. On pourra utiliser notamment l'écart relatif \varepsilon=\left|\frac{R_{\mathrm{T}}-R_{\mathrm{T}, \text { admis }}}{R_{\mathrm{T}, \text { admis }}}\right|.

5. Doc. 4 Proposez une méthode pour vérifier la véracité de cette affirmation :
Depuis Alexandrie, Ératosthène n'avait aucune difficulté pour apercevoir au loin la ville de Syène.