1. Savoir retrouver une équation d'un cercle dans différentes situations.
2. Connaître la définition des médianes et du centre de gravité d'un triangle et leurs propriétés.
3. Déterminer le lieu géométrique de certains points à partir d'une égalité.
4. Optimiser certaines relations.

1. Connaître les propriétés des triangles et des parallélogrammes.
2. Savoir utiliser le cercle circonscrit à un triangle.
3. Utiliser le calcul vectoriel.
4. Calculer et utiliser un produit scalaire.

1

Utiliser les propriétés du parallélogramme

Dans la figure ci-dessous, \text{ABCD} et \text{BFEC} sont des parallélogrammes.
Montrer que les droites \text{(AF)} et \text{(DE)} sont parallèles.

2

Utiliser les propriétés des triangles

On considère un triangle \text{ABC} isocèle en \text{A.}
Montrer que la hauteur issue de \text{A} et la médiatrice du segment \text{(BC)} sont confondues.

3

Déterminer le cercle circonscrit à un triangle

Soit \text{ABCD} un rectangle. Montrer que le cercle circonscrit au triangle \text{ABC} passe par le point \text{D.}

6

Calculer un produit scalaire avec les normes

On se place dans un parallélogramme \text{ABCD.}
1. Utiliser une formule des normes pour simplifier le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

2. Le calculer lorsque \text{AC} = 7 et \text{BD} = 5.

3. a. À quelle condition \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} s'annule-t-il ?

b. Quelle sera alors la nature du quadrilatère \text{ABCD} ?

7

Problème

La figure ci-dessous est un hexagone régulier. Les six triangles qui le constituent sont donc équilatéraux.


1. Justifier que \overrightarrow{\mathrm{FO}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} puis donner les autres vecteurs égaux à \overrightarrow{\mathrm{FO}}.

2. Donner deux autres égalités vectorielles.

3. Montrer que \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Le mot « scalaire » vient de l'anglais scalar, provenant lui-même du mot latin scala qui désigne une échelle.