Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Le but de cette activité est de trouver les sommets d'un triangle \text{ABC} en connaissant les milieux de ses côtés. On notera \text{R} le milieu du segment \text{[BC],} \text{S} celui de \text{[AC]} et \text{T} celui de \text{[AB].}
Les points \text{R,} \text{S} et \text{T} sont donc connus : on cherche à construire les points \text{A,} \text{B} et \text{C.}
Le plan est muni d'un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i} , \vec{j} ) .
On considère les points suivants : \text{R}(1\: ; 1), \text{S}(-1\: ; 3) et \text{T}(3\: ; 5).

Triangle dont on connaît les milieux des côtés

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Partie 1

On définit le point \text{G} par la relation \overrightarrow{\mathrm{GR}}+\overrightarrow{\mathrm{GS}}+\overrightarrow{\mathrm{GT}}=\overrightarrow{0}. 1. Que représente le point \text{G} pour le triangle \text{RST} ?

2. Montrer que \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}+\overrightarrow{\mathrm{OT}}).

3. Calculer les coordonnées du point \text{G.}

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Partie 2

On considère le point \text{G} de coordonnées (1 \: ; 3). On définit les points \text{A,} \text{B} et \text{C} par les relations suivantes : \overrightarrow{\mathrm{GA}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{GR}}, \overrightarrow{\mathrm{GB}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{GS}} et \overrightarrow{\mathrm{GC}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{GT}}. 1. Le but de la question est de trouver les coordonnées de \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right).
a. Quelles sont les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{GA}} et \overrightarrow{\mathrm{GR}} ?

b. En utilisant la relation vectorielle donnée, déterminer et résoudre un système pour trouver les coordonnées de \text{A.}

2. Faire de même pour \text{B} et \text{C.}

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Partie 3

On donne \text{D}(5\: ; 3), \text{E}(1\: ; 7) et \text{F}(-3\: ; - 1). 1. Déterminer les milieux des segments \text{[DE],} \text{[EF]} et \text{[FD].}

2. Que peut-on en conclure pour les points \text{D,} \text{E} et \text{F} ?

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Partie 4

On note \text{G} le centre de gravité du triangle \text{ABC.}

1. a. Justifier que \overrightarrow{\mathrm{GA}}=-(\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}).

b. Exprimer alors \overrightarrow{\mathrm{GA}} en fonction de \overrightarrow{\mathrm{GR}}.

2. Trouver de même les relations entre :
a. \overrightarrow{\mathrm{GB}} et \overrightarrow{\mathrm{GS}}\: ;

b. \overrightarrow{\mathrm{GS}} et \overrightarrow{\mathrm{GT}}.

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Mise en commun

Après avoir mis les résultats en commun, déterminer une méthode pour trouver les coordonnées des sommets du triangle \text{ABC} telles que les points \text{R,} \text{S} et \text{T} soient les milieux des côtés du triangle.

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