Mathématiques 1re Spécialité

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonométriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 10
Cours 2

Théorème de la médiane

8 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Médiane et centre de gravité

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
On appelle centre de gravité d'un triangle \text{ABC} l'unique point \text{G} tel que \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Médiane et centre de gravité
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Par abus de langage, on appellera longueur d'une médiane issue d'un sommet, la longueur du segment reliant ce sommet et le milieu du côté opposé.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème
  • Les médianes d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point).
  • Leur point d'intersection est le centre de gravité.
  • Le centre de gravité est situé aux deux tiers d'une médiane en partant du sommet dont elle est issue.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

On a donc l'égalité vectorielle \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
On note \text{A}', \text{B}' et \text{C}' les milieux respectifs des segments \text{[BC],} \text{[AC]} et \text{[AB].} \text{G} est le centre de gravité de \text{ABC} donc \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.
On a alors \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}, et donc -3 \overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
Comme \text{A}' est le milieu de \text{[BC]}, alors 3 \overrightarrow{\mathrm{AG}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}, et donc \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}.
De même \overrightarrow{\mathrm{BG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}et \overrightarrow{\mathrm{CG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CC}^{\prime}} : \mathrm{G} appartient donc à chacune des médianes du triangle, elles sont donc concourantes et leur point d'intersection est le centre de gravité de \text{ABC.}
De plus, on a bien : \mathrm{AG}=\dfrac{2}{3} \mathrm{AA}^{\prime} ; \mathrm{BG}=\dfrac{2}{3} \mathrm{BB}^{\prime} et \mathrm{CG}=\dfrac{2}{3} \mathrm{CC}^{\prime}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Dire que \text{A}' est le milieu de \text{[BC]} se traduit vectoriellement par \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}}=\overrightarrow{0}. En introduisant un point \text{M,} on obtient : 2 \overrightarrow{\mathrm{MA}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Soit \text{ABC} un triangle et \text{A}', \text{B}' et \text{C}' les milieux des côtés \text{[BC],} \text{[AC]} et \text{[AB].} On note \text{G} le centre de gravité de \text{ABC.} Montrer que \text{G} est le centre de gravité de \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

Dans un exercice de géométrie vectorielle :
  • on traduit les données de l'énoncé en relations vectorielles ;
  • on transforme ces données pour arriver au résultat donné.

Il est souvent utile de penser à la relation de Chasles en introduisant un point (milieu ou centre de gravité par exemple).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
On sait que \text{G} est le centre de gravité de \text{ABC,} donc \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0},
d'où \overrightarrow{\mathrm{GA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{C}}=\overrightarrow{0}
soit \overrightarrow{\mathrm{GA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}^{\prime}}=-\overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{C}}=\overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}^{\prime}}.
Or, on sait que \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}, donc \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AG}}.
Ainsi : \overrightarrow{\mathrm{GA}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}^{\prime}}=\dfrac{3}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}})=\dfrac{-3}{2}(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}})=\overrightarrow{0}.
\text{G} est bien le centre de gravité du triangle \text{A}'\text{B}'\text{C}'.

Pour s'entraîner
Pour s'entraîner : exercices
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Théorème de la médiane

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Théorème
Soit \text{ABC} un triangle. On note \text{I} le milieu du segment \text{[BC].} Alors :
1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4}
2. \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}
3. \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{Al}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}})
=\overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Al}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{Al}}+\overrightarrow{\mathrm{Al}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IC}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IC}}
=\mathrm{AI}^{2}+\overrightarrow{\mathrm{Al}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{IB}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}})+\left(-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\right) \cdot\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)
Comme \overrightarrow{\mathrm{IB}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}}=\overrightarrow{0}, alors \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4}.
2. \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=(\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}})^{2}-(\overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{IC}})^{2}=\mathrm{AI}^{2}+\mathrm{IB}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IB}}-\left(\mathrm{AI}^{2}+\mathrm{IC}^{2}+2\overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{IC}}\right).
Comme \text{IB} = \text{IC}, on obtient \mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{IB}}-\overrightarrow{\mathrm{IC}})=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}.
3. Voir activité
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Dans un triangle \text{OCB}\text{M} est le milieu de \text{[CB]} et \text{OB} = 12, \text{OC} = 16 et \text{OM} = 10 , on a : \mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-2 \mathrm{OM}^{2}=\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}, d'où \mathrm{BC}^{2}=400, soit \mathrm{BC}=20.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
\text{ABC} est un triangle avec \mathrm{AB}=4, \mathrm{AC}=6 et (\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}})=\dfrac{\pi}{3}. On note \text{I} le milieu de \text{[BC]}. Déterminer \text{AI} et \text{BC.}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

Pour trouver un angle ou des longueurs à l'aide du théorème de la médiane :
  • on remplace les données dans une ou plusieurs des égalités du théorème ;
  • on résout l'équation ou le système formé par les égalités.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
Nous allons utiliser deux des égalités du théorème de la médiane :
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4} et \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}
D'une part, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=4 \times 6 \times \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=12 et, d'autre part, \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=4^{2}+6^{2}=52.
On obtient donc le système suivant : \begin{cases}{\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4}=12} \\ {2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}=52}\end{cases} d'où \begin{cases}{2 \mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}=24} \\ {2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}=52}\end{cases} et \begin{cases}{4 \mathrm{AI}^{2}=76} \\ {\mathrm{BC}^{2}=28}\end{cases}.
On a donc \mathrm{AI}=\sqrt{19} et \mathrm{BC}=\sqrt{28}=2 \sqrt{7}.

Pour s'entraîner
exercices

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais

Yolène
Émilie
Jean-Paul
Fatima
Sarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.