On note \text{A}', \text{B}' et \text{C}' les milieux respectifs des segments \text{[BC],} \text{[AC]} et \text{[AB].} \text{G} est le centre de gravité de \text{ABC} donc \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.
On a alors \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}, et donc -3 \overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
Comme \text{A}' est le milieu de \text{[BC]}, alors 3 \overrightarrow{\mathrm{AG}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}, et donc \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}.
De même \overrightarrow{\mathrm{BG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}et \overrightarrow{\mathrm{CG}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{CC}^{\prime}} : \mathrm{G} appartient donc à chacune des médianes du triangle, elles sont donc concourantes et leur point d'intersection est le centre de gravité de \text{ABC.}
De plus, on a bien : \mathrm{AG}=\dfrac{2}{3} \mathrm{AA}^{\prime} ; \mathrm{BG}=\dfrac{2}{3} \mathrm{BB}^{\prime} et \mathrm{CG}=\dfrac{2}{3} \mathrm{CC}^{\prime}.