Géométrie

1. On considère les points \mathrm{B}(-1\: ; 0) et \mathrm{J}\left(0\: ; \dfrac{1}{2}\right).
Le cercle \mathcal{C} de centre \text{J} et de rayon \dfrac{1}{2} coupe le segment \text{[BJ]} en un point \text{K.} Calculer \text{BJ} puis en déduire \text{BK.}

2. a. Exprimer à l'aide des fonctions cosinus et sinus les coordonnées du point \text{A}_2.

b. Démontrer que \left(\mathrm{BA}_{2}\right)^{2}=2+2 \cos \left(\dfrac{4 \pi}{5}\right).

c. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous, que l'on pourra utiliser sans justification.

En déduire que \text{BA}_2 = \text{BK}.

3. Construire le pentagone régulier à la règle et au compas dans un repère orthonormé. N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.

1. Que vaut \theta si le point \text{M} est confondu avec le point \text{D} ? Avec le point \text{C} ?

2. a. Justifier que les coordonnées du point \text{M} dans le repère (\mathrm{A} ; \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}) sont (x\: ; 1).

b. Existe-t-il une position du point \text{M} sur le segment \text{[DC]} tel que le triangle \text{ABM} soit un triangle rectangle en \text{M} ?

c. En calculant de deux façons différentes le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{MA}} et \overrightarrow{\mathrm{MB}}, montrer que \cos (\theta)=\dfrac{x^{2}-x+1}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)\left(2-2 x+x^{2}\right)}}.

3. On s'intéresse à la fonction f définie sur l'intervalle [0\: ; 1] par f(x)=\dfrac{x^{2}-x+1}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)\left(2-2 x+x^{2}\right)}}.
On admet que sa dérivée est f^{\prime}(x)=\dfrac{2 x-1}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)\left(2-2 x+x^{2}\right)^{3}}}.
a. Étudier le signe de f'(x).

b. En déduire les variations de la fonction f sur son ensemble de définition.

4. a. Pour quelle position du point \text{M} sur le segment \text{[DC]} le nombre \cos(\theta) est-il minimal ?

b. Que peut-on en déduire pour l'angle \theta ? En déduire une valeur approchée de son extremum au centième de radian près et au centième de degré près.

1. Après avoir vérifié que \dfrac{5 \pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}, calculer les valeurs exactes de \cos \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right) et \sin \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right).

2. Résoudre l'équation suivante dans l'ensemble des réels \R :
(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cos (x)-(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \sin (x)=-2 \sqrt{3}.

Partie A : Étude du cas particulier n = 6
On a représenté ci-dessous un polygone \text{P}_6.


1. Justifier le fait que le triangle \mathrm{OA}_{6} \mathrm{B}_{6} est équilatéral, et que son aire est égale à \dfrac{1}{6}.

2. Exprimer en fonction de r_6 la hauteur du triangle \mathrm{OA}_{6} \mathrm{B}_{6} issue du sommet \mathrm{B}_{6}.

3. En déduire que r_{6}=\sqrt{\dfrac{2}{3 \sqrt{3}}}.

Partie B : Cas général avec n \geqslant 4
Dans cette partie, on considère le polygone \text{P}_n avec n \geqslant 4, construit de telle sorte que le point \text{A}_n soit situé sur l'axe des abscisses et ait pour abscisse r_n .
Le point \text{B}_n est obtenu à partir du point \text{A}_n par une rotation de centre \text{O} et d'angle \theta_n, où \theta_n est un réel de l'intervalle \left] 0\: ; \dfrac{\pi}{2} \right].

1. Exprimer en fonction de r_n et de \theta_n la hauteur issue de \text{B}_n dans le triangle \mathrm{OA}_{n} \mathrm{B}_{n} puis établir que l'aire de ce triangle est égale à \dfrac{\left(r_{n}\right)^{2}}{2} \times \sin \left(\theta_{n}\right).

2. On rappelle que l'aire du polygone \text{P}_n est égale à 1.
Donner, en fonction de n, une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{\mathrm{OA}_{n}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}_{n}}\right) puis démontrer que r_{n}=\sqrt{\dfrac{2}{n \sin \left(\dfrac{2 \pi}{n}\right)}}.

Partie C : Étude de la suite (r_n)
On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle ]0\: ; \pi[ par f(x)=\dfrac{x}{\sin (x)}.
Ainsi, le nombre r_n, défini dans la partie B pour n \geqslant 4 , s'exprime à l'aide de la fonction f par : r_{n}=\sqrt{\dfrac{1}{\pi} f\left(\dfrac{2 \pi}{n}\right)}.
On admet que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0\: ; \pi[ .

1. Montrer que la suite (r_n) est décroissante.
On pourra pour cela commencer par démontrer que, pour tout n \geqslant 4 , on a : 0 \lt \dfrac{2 \pi}{n+1} \lt \dfrac{2 \pi}{n} \lt \pi.

2. On considère l'algorithme suivant où n est un nombre entier non nul.

\boxed{ \begin{array} { l } { \text {n} \leftarrow 4 } \\ \text {Tant que} \sqrt{\dfrac{2}{\text{n} \sin \left(\dfrac{2 \pi}{\text{n}}\right)}}>0{,}58 : \\ \quad \text {n} \leftarrow \text {n}+1 : \\ \text {Fin Tant que} \end{array} }

Quelle est la valeur numérique de n à la fin de cet algorithme ?