Dans le schéma ci-dessous, Patrick, représenté par le point \text{P}, se déplace d'un point \text{A} à un point \text{B}.
Caroline se situe au point \text{C} et ne se déplace pas. Les longueurs sont données en kilomètre.
On note x la distance \text{AP} parcourue par Patrick durant son déplacement.
On souhaite étudier la longueur \text{CP}, notée \text{L}(x), en fonction de x .

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1
a) Démontrer que, pour tout x \in[0 \:; 6], \mathrm{L}(x)=\sqrt{x^{2}-12 x+52}.

Aide

Utiliser des triangles rectangles en \text{H}.

b) Démontrer que, pour tout x \in[6 \:; 10], on a aussi \mathrm{L}(x)=\sqrt{x^{2}-12 x+52}.

c) Compléter le tableau de valeurs suivant en utilisant les expressions précédentes. Arrondir à 10^{-3} si nécessaire.

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
L(x)

2
À l'aide de ces mesures, tracer la courbe représentative de la fonction \text{L} dans un repère orthonormé.

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3
a) Quelle semble être la plus petite image par la fonction \text{L} ?

b) En quelle valeur de x est-elle atteinte ?

c) Quelle interprétation pouvez-vous faire concernant la longueur \text{CP}\:?

4
À l'aide des valeurs calculées, compléter le tableau suivant (appelé tableau de variations de \text{L}).

Logique

\mathrm{L}(x)>5 peut éventuellement se déduire de \mathrm{L}(x) \leqslant 5.

5
a) Préciser graphiquement les antécédents de 5 par la fonction \text{L}. Laisser les traits de construction apparents.

b) Résoudre \mathrm{L}(x) \leqslant 5 puis \mathrm{L}(x)>5 à l'aide de la courbe de \text{L}. Comment retrouver ces résultats sur la figure à l'aide d'un compas ?

6
Résoudre \mathrm{L}(x) \leqslant 6 puis \mathrm{L}(x)>6. Comment retrouver ces résultats sur la figure à l'aide d'un compas ?

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Bilan

Comment peut-on décrire les variations d'une fonction à l'aide d'un tableau ? Comment définir un minimum ?

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B
Du Canada à la Nouvelle‑Zélande, de Lille à Marseille

Objectif : Résoudre graphiquement des inéquations.

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On a représenté ci-dessous la durée du jour (entre le lever et le coucher du Soleil) des deux capitales Ottawa et Wellington, en fonction du jour j \in[1 \: ; 365] d'une année non bissextile. On note \text{O} et \text{W} les fonctions correspondantes.

Du Canada à la Nouvelle-Zélande, de Lille à Marseille

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Tracer le tableau de variations de \text{O} et de \text{W} sur [1\: ; 365].

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Avec la précision permise par le graphique, indiquer puis comparer les durées de jour de ces deux villes :
a) au 20 janvier (j = 20)\:;

b) au 17 septembre (j = 260)\:;

c) au 26 novembre (j = 330)\:.

a) Pour quels jours j de l'année les durées du jour à Ottawa et à Wellington sont-elles identiques ? Quelle équation avec \text{O}(j) et \text{W}(j) cela revient-il à résoudre ?

b) Sur quel intervalle de l'année la durée du jour à Ottawa est-elle strictement supérieure à celle à Wellington ? Quelle inéquation entre \text{O}(j) et \text{W}(j) cela revient-il à résoudre?

c) Résoudre \mathrm{O}(j) \lt \text{W}(j) puis interpréter le résultat.

Même en France, il y a des différences entre villes : on a représenté ci-dessous la durée du jour à Lille (fonction \mathrm{L}) et à Marseille (fonction \mathrm{M}). Résoudre les équations et les inéquations suivantes puis interpréter les résultats :

\mathrm{L}(j)=\mathrm{M}(j)

\mathrm{L}(j) \geqslant \mathrm{M}(j)

\mathrm{L}(j) \leqslant \mathrm{M}(j)

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Bilan

Si f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I, comment peut-on résoudre graphiquement l'inéquation f(x) \lt g(x) ?

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Variations de fonctions

ALoin des yeux, loin du cœur ?

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BDu Canada à la Nouvelle‑Zélande, de Lille à Marseille

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Loin des yeux, loin du cœur ?

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