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En SES

Calculatrice

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Un couple contracte un prêt d'un montant de 20 000 € au taux de 6 % par an. Le couple choisi le nombre d'années t pendant lequel il souhaite rembourser ce prêt. On suppose que t > 0. On admet que la somme totale à rembourser après t années est donnée par la fonction \text{S} définie pour tout t > 0 par \mathrm{S}(t)=20 \, 000 \times 1{,}06^{t}. Comme il y a 12 mois dans l'année, le montant à rembourser chaque mois sera donc défini par la fonction \text{M} pour tout t > 0 par \mathrm{M}(t)=\dfrac{\mathrm{S}(t)}{12 t}.

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L'unité de longueur est le centimètre. \text{ABC} est un triangle tel que \text{AB} = 8 . On appelle \text{J} le milieu de [\text{BC}] et \text{K} celui de [\text{AC}] . Les droites (\text{AJ}) et (\text{BK}) sont sécantes en \text{G}. \text{M} est un point mobile sur [\text{AB}] . La droite (\text{GM}) coupe un autre côté du triangle en \text{N}. On note x = \text{AM} avec x \in[0\:; 8].

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[Modéliser.]

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61

[Chercher.]
Solal part de son domicile situé en \text{O} pour se rendre à son bureau \text{E} situé à 6 km. On note x la distance parcourue par Solal sur la route durant son trajet. Deux antennes-relais \text{A} et \text{B} de son opérateur téléphonique sont situées à 1,2 km et 1 km de part et d'autre de la route (perpendiculairement aux points \text{C} et \text{D}).


Le but est d'étudier les zones dans lesquelles Solal pourra recevoir du réseau téléphonique.
On suppose que \text{OC} = \text{CD} = \text{DE} = 2 km. La position de Solal sur la route est représentée par le point \text{P}. Pour étudier l'intensité du signal reçu grâce aux antennes \text{A} et \text{B} , on considère les fonctions f et g définies sur \text{I} = [0\:; 6] par f(x)=\dfrac{10}{\mathrm{AP}^{2}} pour l'antenne \text{A} et par g(x)=\dfrac{10}{\mathrm{BP}^{2}} pour l'antenne \text{B}.

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Calculatrice

[Chercher.]
Un élève a représenté les fonctions suivantes grâce à sa calculatrice graphique, en effectuant les réglages indiqués ci-après.
On précise l'expression de ces fonctions.

1. À partir de ces représentations graphiques, conjecturer puis tracer les tableaux de variations de ces différentes fonctions.

2. Pour la fonction h , on a changé la fenêtre graphique et on a obtenu la courbe ci-dessous.

Rectifier le tableau de variations de h en conséquence. Comment expliquer les différences d'un réglage à l'autre ?

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

3.

Défi

En réalité, comme pour la fonction h , les variations de la fonction i ne sont pas correctement visibles avec la fenêtre graphique choisie.

Trouver un réglage avec lequel on peut observer les variations ci-dessus.

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[Modéliser.]
Un segment [\text{AB}] de longueur égale à 6 glisse le long de deux axes perpendiculaires sécants en \text{O} . \text{C} et \text{D} sont les points de [\text{AB}] tels que \text{AD} = 1 et \text{BC} = 2 . On note x la longueur \text{OA} : ainsi, x \in[0\: ; 6].

Les fonctions f, g, h et p associent à chaque valeur de x \in[0\:; 6] respectivement les longueurs \text{OC}, \text{OD} et \text{CD} et le périmètre \text{P} du triangle \text{OCD}. On a tracé dans un repère les courbes représentatives de f , g , h et p .

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Casse-tête

Un professeur a demandé à ses élèves de mesurer sur un demi-cercle de centre \text{C} et de diamètre \text{AB} = 4 les longueurs \text{AM} et \text{IM} en fonction de x=\widehat{\mathrm{AIM}} (en degrés) où \text{I} est le milieu du rayon [\text{CS}] perpendiculaire à (\text{AB}) ; puis de tracer la courbe représentative des fonctions f et g correspondantes.
Le lendemain, il donne une interrogation surprise et Nathalie n'a pas fait son travail !
L'aider à répondre aux questions posées.