L'étude des positions de différents points (et d'ensembles de points) dans le plan ou dans l'espace constitue la base de la géométrie. Les premières traces écrites de problèmes géométriques, comme pour les nombres, nous viennent de l'Antiquité et concernent, entre autres, l'architecture, la topographie, l'astronomie et l'agriculture. Géométrie provient du grec géo - la Terre - et de metria - la mesure. En ces termes, quel formidable exemple que celui de la mesure du rayon de la Terre par Ératosthène ! Les Grecs ont donné à la géométrie toutes ses lettres de noblesse en y ajoutant la démonstration. Les mathématiciens de l'époque ont laissé leur nom aux théorèmes que l'on connaît, comme Thalès ou Pythagore. Les Éléments d'Euclide ont donné les bases de la géométrie jusqu'à la Renaissance, et la géométrie étudiée au collège en découle. Il a fallu attendre l'apparition de l'algèbre, du calcul littéral et du calcul différentiel pour donner à la géométrie une nouvelle ampleur.

Problème de géométrie extrait du papyrus Rhind (2 000 av. J.-C.), British Museum.

Les Éléments d'Euclide est une encyclopédie mathématique en 13 livres qui date de 300 av. J.-C. Les six premiers livres constituent la base pour effectuer des constructions ou des démonstrations en géométrie. Par exemple, la proposition I dit : « Sur une droite donnée et terminée, décrire un triangle équilatéral. ».
On y retrouve, entre autres, les théorèmes de Thalès et de Pythagore et leur démonstration basée sur les axiomes et les théorèmes contenus dans les Éléments eux-mêmes.

Extrait des Éléments, University of Pennsylvania.

Une des plus anciennes version des Éléments (III^e siècle.), University of Pennsylvania.

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Questions

1. Quel est le théorème du triangle rectangle et de son cercle circonscrit ? Dans le monde, ce théorème porte le nom de théorème de Thalès et il figure dans les Éléments d'Euclide.

2. Le démontrer ainsi que sa réciproque.

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Histoire
De la perspective aux vecteurs

Les mathématiques de la Renaissance sont venues en aide aux artistes en leur offrant les règles de la perspective. Des scientifiques comme Galilée ou Newton s'appuient aussi sur la géométrie pour chercher à expliquer la cinématique et les forces en introduisant de nouvelles notions comme celles sur les vecteurs. Il faudra attendre les travaux de Giusto Bellavitis, Willard Gibbs et d'Hermann Grassmann pour leur donner la forme que nous étudions en seconde.

Città ideale - Galleria Nazionale delle Marche, Urbino.

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Histoire
La géométrie non euclidienne

Maryam Mirzakhani (1977-2017) était une mathématicienne iranienne. Elle a travaillé sur la topologie et la géométrie, en particulier sur la géométrie des surfaces de Riemann (géométrie non euclidienne). Elle est la première et l'unique femme à ce jour à avoir reçu la médaille Fields (2014).
Avec l'apparition, entre autres, des fonctions, de l'algèbre et du calcul différentiel, la géométrie s'éloigne de plus en plus de celle proposée dans les Éléments d'Euclide. On arrive alors à concevoir des feuilles avec une seule page (ruban de Möbius), des bouteilles dont on ne peut pas distinguer l'intérieur de l'extérieur (bouteille de Klein, ci-dessous), des surfaces finies dont le périmètre est infini (géométrie fractale qui a, entre autres, permis de réaliser le smartphone).