1. Faire une figure.

2. Construire le centre \Omega du cercle circonscrit au triangle \text{ABC}.

3. Donner, sans justification, les coordonnées de \Omega et calculer le rayon du cercle.

4. Montrer que les points \text{A, B, C} et \text{D} appartiennent à un même cercle : on dira qu'ils sont cocycliques.

5. Soit \text{M}, un point de coordonnées (4 ; 1).
a. Montrer que \text{M} appartient au segment [\mathrm{AB}].

b. Montrer que \text{M} appartient au segment [\mathrm{DC}].

c. Calculer \mathrm{MA} \times \mathrm{MB} et \mathrm{MC} \times \mathrm{MD}.

d. Conclure.

1. Montrer que \mathrm{IJ}=\sqrt{2}.

2. Expliquer pourquoi 0 \leqslant x_{\mathrm{M}} \leqslant 1 et 0 \leqslant y_{\mathrm{M}} \leqslant 1.

3. Déterminer la distance \text{OM}.

4. Calculer les coordonnées de \text{S}, milieu de [\mathrm{OI}].

5. On considère dans cette question que M est aussi sur la médiatrice de [\mathrm{OI}].
a. Montrer que x_{\mathrm{H}}=x_{\mathrm{M}}=\dfrac{1}{2}

b. En déduire la distance \text{MH} et les coordonnées du point M.

c. Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{HOM}}.

d. Conclure en donnant les valeurs exactes de \cos \left(60^{\circ}\right) et \sin \left(60^{\circ}\right).

6. En raisonnant de manière analogue, déterminer les valeurs exactes de \cos \left(30^{\circ}\right) et \sin \left(30^{\circ}\right).

1. Réaliser une figure que l'on complètera au fil de l'exercice.

2. Tracer la droite parallèle à (\mathrm{PM}) passant par \text{A}, elle coupe la droite (\mathrm{OP}) en \text{B}.
3. Montrer que le triangle \text{OAB} est rectangle en \text{B}.

4. Calculer les distances \mathrm{PM}, \mathrm{AB} et \text{OB}.

5. On munit le plan d'un repère orthonormé (\text{O ; M , N}).
a. Placer le point \text{N} afin que l'ordonnée du point \text{P} soit positif.
b. Déterminer les coordonnées des points \text{M, N} et \text{A.}

c. Les coordonnées de \text{B} peuvent-elles être égales à \mathrm{B}(-4\text{,}9\:;-5)\:?

1. Faire une figure.

2. a. Déterminer les coordonnées de \text{K}, milieu de [\mathrm{AC}].

b. Déterminer les coordonnées de \text{L}, milieu de [\mathrm{BD}].

c. En déduire que \text{ABCD} est un parallélogramme.

3. a. Calculer les distances \text{AC, AD} et \text{DC.}

b. En déduire la nature du triangle \text{ADC.}

4. Conclure sur la nature du parallélogramme \text{ABCD}.

1. Expliquer pourquoi le repère (\text{A ; R , D}) est un repère orthonormé du plan.

2. Donner, sans justification, les coordonnées des points \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{R} et \mathrm{Q}.

3. Calculer \text{AB} et \text{CB}. En déduire l'aire du triangle \text{ABC}.

4. Calculer \text{BR} et \text{BQ}. En déduire l'aire du triangle \text{BQR}.

5. Calculer les coordonnées des points \text{O} et \text{P}.

6. Calculer l'aire du triangle \text{ARO}.

7. On note \text{H} le projeté orthogonal de \text{P} sur (\mathrm{BC}). On admet que \text{H} a pour coordonnées \left(2\:; \dfrac{3}{4}\right).
a. Calculer \text{HP}. En déduire l'aire du triangle \text{CQP}.

b. En déduire l'aire du quadrilatère \text{OPQR}.

1. Réaliser la figure suivante.

a. Tracer une droite \Delta et placer un point \text{M} n'appartenant pas à cette droite ;
b. Construire le point \text{H}, projeté orthogonal de \text{M} sur \Delta.
c. Placer deux points distincts \text{A} et \text{B} sur \Delta. et différents de \text{H}.

2. Traduire la propriété que l'on cherche à démontrer en utilisant les points de la figure construite.

3. a. Que peut-on dire des triangles \mathrm{AMH} et \mathrm{MBH} \:?

b. En déduire le plus grand côté de chacun de ses triangles.

c. La position des points \text{A} et \text{B} influence-t-elle la réponse à la question précédente ?

4. Conclure.

Partie A : Sans coordonnées

1. Calculer \mathrm{MS}^{2} en fonction de x .

2. Calculer \mathrm{MR}^{2} en fonction de x .

3. Pour calculer \mathrm{RS}^{2}, on introduit le point \text{H} projeté orthogonal de \text{R} sur (\mathrm{AD}).
a. Que peut-on dire du triangle \text{RSH ?}

b. Donner une expression de \text{SH} en fonction des valeurs de x.

c. En déduire \text{RS}^2 en fonction de x .

4. Conclure.

Partie B : Avec coordonnées
On introduit le repère \text{(D ; C , A)}.
1. Déterminer les coordonnées de \text{M,} \text{R} et \text{S} en fonction de x .

2. Calculer les distances \text{MS,} \text{MR} et \text{RS.}

3. Montrer que le triangle \text{MRS} est rectangle.

4. Conclure.

1. a. Démontrer que m_{1} et m_{2} ne sont pas parallèles.

2. On appelle \text{O} le point d'intersection de m_{1} et m_{2} .
a. Puisque \text{O} appartient à m_{1}, quelle relation existe-t-il entre les longueurs \text{OA} et \text{OB}\:?

b. De même, comparer les longueurs \text{OA} et \text{OC}.

3. a.Que peut-on en déduire sur les longueurs \text{OB} et \text{OC}\:?

b. Le point \text{O} appartient-il alors à m_{3}\:?

4. Quelle interprétation géométrique peut-on donner à la comparaison des trois longueurs \text{OA} , \text{OB} et \text{OC}\:?

5. Conclure en résumant les propriétés démontrées.

On considère un triangle \text{ABC} quelconque avec ses trois hauteurs. \mathrm{H}_{\mathrm{A}}, \mathrm{H}_{\mathrm{B}} et \text{H}_\text{C} sont les pieds des hauteurs respectivement issues de \text{A} , \text{B} et \text{C}.
On veut démontrer que les trois hauteurs sont concourantes.
1. Reproduire la figure dans le module GeoGebra et construire :
a. la droite d_{\mathrm{A}} passant par \text{A} et parallèle à (\mathrm{BC})\: ;
b. la droite d_{\mathrm{B}} passant par \text{B} et parallèle à (\mathrm{AC})\: ;
c. la droite d_{\mathrm{C}} passant par \text{C} et parallèle à (\mathrm{AB})\: ;
d. le point \text{R} , point d'intersection de d_{\mathrm{A}} et d_{\mathrm{B}}\: ;
e. le point \text{S} , point d'intersection de d_{\mathrm{B}} et d_{\mathrm{C}}\: ;
f. le point \text{T} , point d'intersection de d_{\mathrm{A}} et d_{\mathrm{C}}.

1. Tracer un triangle \text{ABC} et construire la hauteur issue du point \text{B} . On appelle \text{H} le pied de cette hauteur.

2. En utilisant le triangle \text{BHC} , démontrer que : \mathrm{HC}=\mathrm{BC} \times \cos(\widehat{\mathrm{BCA}})\: et que \mathrm{HC}=\mathrm{BC} \times \sin(\widehat{\mathrm{BCA}}).

3. En déduire une expression de \text{AH} en fonction de \text{BC} , \text{AC} et \cos (\widehat{\mathrm{BCA}}).

4. En utilisant le triangle \text{ABH}, donner une expression de \mathrm{AB}^{2} puis retrouver la formule d'Al-Kâshi.