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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 5
Cours 2
Distance dans un repère orthonormé
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ADistance entre deux points
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Propriété
Dans un repère orthonormé du plan, la distance entre deux points \text{A} et \text{B} de coordonnées respectives \left(x_{\mathrm{A}}\:; y_{\mathrm{A}}\right) et \left(x_{\mathrm{B}}\:; y_{\mathrm{B}}\right) est donnée par :
\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}}.
\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}}.
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Démonstration
On traite le cas où x_{\mathrm{B}}>x_{\mathrm{A}} et y_{\mathrm{B}}>y_{\mathrm{A}}.
On considère le point \text{C} de coordonnées \left(x_{\mathrm{B}} \: ; y_{\mathrm{A}}\right). Les axes du repère sont perpendiculaires donc le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{C} .
D'après le théorème de Pythagore :
\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}.
Or, \mathrm{AC}=x_{\mathrm{C}}-x_{\mathrm{A}}=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}} et
\mathrm{BC}=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{C}}=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}} donc
\mathrm{AB}^{2}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}.
\text{AB} étant une longueur, \text{AB} est un nombre positif donc
\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}}.
Les autres cas se traitent de manière similaire.
On considère le point \text{C} de coordonnées \left(x_{\mathrm{B}} \: ; y_{\mathrm{A}}\right). Les axes du repère sont perpendiculaires donc le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{C} .
D'après le théorème de Pythagore :
\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}.
Or, \mathrm{AC}=x_{\mathrm{C}}-x_{\mathrm{A}}=x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}} et
\mathrm{BC}=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{C}}=y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}} donc
\mathrm{AB}^{2}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}.
\text{AB} étant une longueur, \text{AB} est un nombre positif donc
\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}\right)^{2}}.
Les autres cas se traitent de manière similaire.
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On peut généraliser cette preuve pour les autres cas possibles :
x_{\mathrm{B}}>x_{\mathrm{A}} et y_{\mathrm{B}}\lt x_{\mathrm{A}}, etc.
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Exemple
Dans un repère orthonormé, avec \mathrm{A}(-1\:; 2) et \text{B}(4\:; 3), on a :
\begin{aligned}\text{AB}&=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}\\&=\sqrt{(4-(-1))^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.\end{aligned}
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EXCLU. PREMIUM 2023
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EXCLU. PREMIUM 2023
Déplacez les points \text{A} et \text{B} pour voir la distance entre ces deux points changer.
GeoGebra
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Application et méthode
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Énoncé
Dans un repère orthonormé (\text{O ; I , J}) du plan, on considère les points \text{A , B , C }et \text{M} de coordonnées respectives (-2\:; 3),(3\:; 4),(3\:;-2) et (1\:; 1).
Montrer que \text{A , B} et \text{C} appartiennent à un même cercle de centre \text{M}.
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1. Vérifier que le repère est orthonormé.
2. Calculer \mathrm{MA}^{2}, \mathrm{MB}^{2} et \mathrm{MC}^{2} en utilisant les coordonnées des points.
3. En déduire les distances \text{MA , MB} et \text{MC}.
4. Conclure.
2. Calculer \mathrm{MA}^{2}, \mathrm{MB}^{2} et \mathrm{MC}^{2} en utilisant les coordonnées des points.
3. En déduire les distances \text{MA , MB} et \text{MC}.
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Solution
Remarque : Comme on travaille sur des longueurs positives, il suffit de comparer les carrés.Le repère (\text{O ; I , J}) étant orthonormé, on a :
\mathrm{MA}^{2}=\left(x_{\mathrm{A}}-x_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{A}}-y_{\mathrm{M}}\right)^{2}=(-2-1)^{2}+(3-1)^{2}=13\:;
\mathrm{MB}^{2}=\left(x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{M}}\right)^{2}=(3-1)^{2}+(4-1)^{2}=13\:;
\mathrm{MC}^{2}=\left(x_{\mathrm{C}}-x_{\mathrm{M}}\right)^{2}+\left(y_{\mathrm{C}}-y_{\mathrm{M}}\right)^{2}=(3-1)^{2}+(-2-1)^{2}=13
\mathrm{MA}^{2}=\mathrm{MB}^{2}=\mathrm{MC}^{2} donc \mathrm{MA}=\mathrm{MB}=\mathrm{MC} et les points \text{A , B} et \text{C} sont donc sur le cercle de centre \text{M} et de rayon r=\sqrt{13}
Pour s'entraîner
exercices et p. 159
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BAlignement de trois points
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Propriété
Soient \text{A , B} et \text{C} , trois points distincts du plan. Les points \text{A , B} et \text{C} sont alignés dans cet ordre si et seulement si \mathrm{AC}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}.
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Démonstration
D'après l'inégalité triangulaire, on a forcément \mathrm{AC} \leqslant \mathrm{AB}+\mathrm{BC}.
Si \text{A , B} et \text{C} sont alignés, alors le triangle \text{ABC} est plat et \text{AC} = \text{AB} + \text{BC}.
Réciproquement, si \text{AC} = \text{AB} + \text{BC} alors on obtient un triangle plat donc \text{A , B} et \text{C} sont alignés.
Si \text{A , B} et \text{C} sont alignés, alors le triangle \text{ABC} est plat et \text{AC} = \text{AB} + \text{BC}.
Réciproquement, si \text{AC} = \text{AB} + \text{BC} alors on obtient un triangle plat donc \text{A , B} et \text{C} sont alignés.
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Exemple
Dans un repère orthonormé (\text{O ; I , J}), les points \text{A}(-2\:;-2), \text{B}(3\:; 1) et \text{C}(8\:; 4) sont-ils alignés ?
Le repère étant orthonormé, on a :
\begin{aligned}\mathrm{AC}&=\sqrt{(8-(-2))^{2}+(4-(-2))^{2}}\\ &=\sqrt{100+36}\\ &=\sqrt{136}=2 \sqrt{34}\end{aligned}
\begin{aligned}\mathrm{AB}&=\sqrt{(3-(-2))^{2}+(1-(-2))^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\\\end{aligned}
\begin{aligned}\mathrm{BC}&=\sqrt{(8-3)^{2}+(4-1)^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\end{aligned}
\mathrm{AC}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC} donc les points \text{A} , \text{B} et \text{C} sont alignés dans cet ordre.
Le repère étant orthonormé, on a :
\begin{aligned}\mathrm{AC}&=\sqrt{(8-(-2))^{2}+(4-(-2))^{2}}\\ &=\sqrt{100+36}\\ &=\sqrt{136}=2 \sqrt{34}\end{aligned}
\begin{aligned}\mathrm{AB}&=\sqrt{(3-(-2))^{2}+(1-(-2))^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\\\end{aligned}
\begin{aligned}\mathrm{BC}&=\sqrt{(8-3)^{2}+(4-1)^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\end{aligned}
\mathrm{AC}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC} donc les points \text{A} , \text{B} et \text{C} sont alignés dans cet ordre.
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Dans cet exemple, le point \text{B} est le milieu du segment [\mathrm{AC}] puisque les points \text{A, B} et \text{C} sont alignés et que \text{AB} = \text{BC} .
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EXCLU. PREMIUM 2023
Déplacez le curseur pour déplacer le point \text{C} et vérifier quand ce-dernier est aligné avec \text{A} et \text{B}.
GeoGebra
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Application et méthode
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Énoncé
Dans le repère orthonormé (\text{A ; I , J}), on considère la figure ci-dessous composée d'un carré \text{ABCD} et de deux points \text{E} et \text{F} . Les points \text{E , C} et \text{F} sont-ils alignés ?
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1. Vérifier que le repère est bien orthonormé.
2. Calculer les trois distances \text{EF} , \text{EC} et \text{CF} avec la formule de la distance entre deux points.
3. Comparer la plus grande distance avec la somme des deux autres.
2. Calculer les trois distances \text{EF} , \text{EC} et \text{CF} avec la formule de la distance entre deux points.
3. Comparer la plus grande distance avec la somme des deux autres.
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Solution
Dans le repère (\text{A ; I , J}), on relève les coordonnées des 6 points de la figure :
\mathrm{A}(0\:; 0), \mathrm{B}(8\:; 0), \mathrm{C}(8\:; 8), \mathrm{D}(0\:; 8), \mathrm{E}(0\:; 13) et \mathrm{F}(21\:; 0).
Le repère (\text{A ; I , J}) étant orthonormé, on a :
\mathrm{EF}=\sqrt{(21-0)^{2}+(0-13)^{2}}=\sqrt{610}\:;
\mathrm{EC}=\sqrt{(8-0)^{2}+(8-13)^{2}}=\sqrt{89}\:;
\mathrm{CF}=\sqrt{(21-8)^{2}+(0-8)^{2}}=\sqrt{233}.
\mathrm{EF}^{2} \neq(\mathrm{EC}+\mathrm{CF})^{2} donc \mathrm{EF} \neq \mathrm{EC}+\mathrm{CF} donc les points \text{E} , \text{C} et \text{F} ne sont pas alignés.
\mathrm{A}(0\:; 0), \mathrm{B}(8\:; 0), \mathrm{C}(8\:; 8), \mathrm{D}(0\:; 8), \mathrm{E}(0\:; 13) et \mathrm{F}(21\:; 0).
Le repère (\text{A ; I , J}) étant orthonormé, on a :
\mathrm{EF}=\sqrt{(21-0)^{2}+(0-13)^{2}}=\sqrt{610}\:;
\mathrm{EC}=\sqrt{(8-0)^{2}+(8-13)^{2}}=\sqrt{89}\:;
\mathrm{CF}=\sqrt{(21-8)^{2}+(0-8)^{2}}=\sqrt{233}.
\mathrm{EF}^{2} \neq(\mathrm{EC}+\mathrm{CF})^{2} donc \mathrm{EF} \neq \mathrm{EC}+\mathrm{CF} donc les points \text{E} , \text{C} et \text{F} ne sont pas alignés.
Pour s'entraîner
exercices p. 159 et p. 164
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