Mathématiques 2de
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Chapitre 5
Entraînement 1
Coordonnées d'un point du plan
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33
[Chercher.]On considère le repère (\text{O ; I , J}) ci-dessous.
1. Le repère (\text{O ; I , J}) est-il orthonormé ? orthogonal ?
2. Lire les coordonnées des points \text{A}, \text{B} et \text{C} dans le repère (\text{O ; I , J})
3. Sur le repère placer les points \mathrm{D}(1\:; 1) et \mathrm{E}(-1\:; 0)
4. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère (\text{D ; A , I})
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34
[Chercher.]On considère le repère (\text{O ; I , J}) suivant.
1. Le repère (\text{O ; I , J}) est-il orthonormé ? orthogonal ?
2. Lire les coordonnées des points \text{A, B, C} et \text{D} dans le repère (\text{O ; I , J}).
3. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère (\text{O ; I , B}).
4. Déterminer les éventuels points qui possèdent les mêmes coordonnées dans ces deux repères.
5. Calculer les coordonnées du milieu de [\mathrm{AB}] dans chacun de ces deux repères.
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Le système de coordonnées cartésiennes permet de déterminer la position d'un point sur une droite, dans un plan ou dans un espace de dimension 3. On munit pour cela l'espace affine correspondant
d'un repère cartésien. Le mot « cartésien » vient du mathématicien et philosophe français René Descartes, né le 31 mars 1596 à La-Haye-en-Touraine.
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[Modéliser.] La figure ci-dessous est composée de deux carrés accolés (\text{ABCD} et \text{CBKJ}) et d'un trapèze \text{EHGF}. La droite (\text{BC}) est un axe de symétrie.
Dans le repère (\text{C ; I , B})\: :
1. Donner les coordonnées de tous les points.
2. Calculer les coordonnées du milieu \text{M} de [\mathrm{EF}] .
3. Calculer les coordonnées du milieu \text{N} de [\mathrm{GH}].
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[Chercher.] Dans le repère orthonormé (\text{O ; I , J}) ci-dessous, on considère le carré \text{ABCD} et le parallélogramme \text{EFDC}.
1. Lire les coordonnées de tous les points.
2. Calculer les coordonnées du milieu \text{K} de [\mathrm{AE}].
3. Calculer les coordonnées du milieu \text{L} de [\mathrm{BF}].
4. En déduire la nature du quadrilatère \text{AFEB.}
5. Que dire alors des droites (\mathrm{AF}) et (\mathrm{BE}) ?
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GeoGebra
[Raisonner.]
Dans un repère orthonormé, on considère les points \mathrm{A}(\sqrt{5}\:; \sqrt{2}),\: \mathrm{B}(3 \sqrt{5} \:; \sqrt{2}) et \mathrm{C}(2 \sqrt{5}\: ; 0).
1. Ouvrir la fenêtre graphique de GeoGebra et placer les points \text{A, B} et \text{C} en saisissant les coordonnées dans la barre de saisie.
2. Conjecturer la nature du quadrilatère \text{OABC}.
3. Démontrer la conjecture.
GeoGebra
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[Chercher.]
Mathias et Zineb jouent aux fléchettes. La cible est placée dans le repère orthonormé (\text{O ; I , J}) ci-dessus.
Les fléchettes de Mathias sont repérées par les points \text{A}_{1}(2\:; 5), \text{B}_{1}(8\:; 3) et \text{C}_{1}(-6\:;-2).
1. Déterminer le score obtenu par Mathias.
2. Les deux premières fléchettes de Zineb sont repérées par \mathrm{A}_{2} et \mathrm{B}_{2} tels que \mathrm{A}_{2} est le milieu de \left[\mathrm{A}_{1} \mathrm{B}_{1}\right] et \mathrm{B}_{2} est le symétrique de \mathrm{B}_{1} par rapport à \mathrm{A}_{1} . Déterminer une position possible de la troisième flèche afin que Zineb obtienne :
a. le même score que Mathias ;
b. un score plus élevé que Mathias.
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[Raisonner.] Soient \text{EFGH} un parallélogramme de centre \text{O} et (\text{E ; F , G}) un repère orthogonal du plan.
1. Faire une figure.
GeoGebra
2. Donner les coordonnées des points \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G} et \text{H}.
3. Calculer les coordonnées de \text{R}, symétrique de \text{G} par rapport à \text{F.}
4. Calculer les coordonnées de \text{S}, symétrique de \text{H} par rapport à \text{G.}
5. Calculer les coordonnées de \text{T}, symétrique de \text{O} par rapport à \text{G.}
6. Déterminer la nature des quadrilatères \text{ERFH} et \text{HOST}.
3. Calculer les coordonnées de \text{R}, symétrique de \text{G} par rapport à \text{F.}
4. Calculer les coordonnées de \text{S}, symétrique de \text{H} par rapport à \text{G.}
5. Calculer les coordonnées de \text{T}, symétrique de \text{O} par rapport à \text{G.}
6. Déterminer la nature des quadrilatères \text{ERFH} et \text{HOST}.
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40
[Calculer.]
Dans un repère (\text{O ; I , J}) du plan, on considère les points \mathrm{A}(3\:; 1), \mathrm{B}(-4\:; 2) et \mathrm{C}(-1\:; 4).
1. Déterminer les coordonnées du point \text{D}, symétrique de \text{C} par rapport à \text{B}.
2. On note \text{E} le point du plan tel que les segments [\mathrm{AC}] et [\mathrm{BE}] aient le même milieu. Déterminer les coordonnées du point \text{E} .
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41
[Calculer.]
Soit (\text{O ; I , J}) un repère orthonormé du plan. On considère les trois points \mathrm{A}(1\:; 3), \mathrm{B}(1{,}5\:; 8) et \mathrm{C}(4\:; 5).
1. Faire une figure.
GeoGebra
2. Calculer les coordonnées du milieu \text{K} de [\mathrm{BC}].
3. Calculer les coordonnées de \text{D}, symétrique du point \text{A} par rapport à \text{K}.
4. Déterminer la nature du quadrilatère \text{ABDC}.
3. Calculer les coordonnées de \text{D}, symétrique du point \text{A} par rapport à \text{K}.
4. Déterminer la nature du quadrilatère \text{ABDC}.
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[Calculer.]
Sur la figure ci-dessous, on considère le rectangle \text{ABCD} et les points \mathrm{A}^{\prime} et \mathrm{D}^{\prime}. On note (\text{A ; B , D}) le repère orthogonal du plan.
1. Donner les coordonnées de tous les points.
2. Vérifier, par le calcul, que \mathrm{A}^{\prime} et \mathrm{D}^{\prime} sont respectivement le symétrique de \text{A} par rapport à \text{B} et le symétrique de \text{D} par rapport à \text{A}.
2. Vérifier, par le calcul, que \mathrm{A}^{\prime} et \mathrm{D}^{\prime} sont respectivement le symétrique de \text{A} par rapport à \text{B} et le symétrique de \text{D} par rapport à \text{A}.
3. Calculer les coordonnées de \mathrm{C}^{\prime}, symétrique de \text{C} par rapport à \text{D}.
4. Calculer les coordonnées de \mathrm{B}^{\prime}, symétrique de \text{B} par rapport à \text{C}.
5. Montrer que le quadrilatère \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} est un parallélogramme.
4. Calculer les coordonnées de \mathrm{B}^{\prime}, symétrique de \text{B} par rapport à \text{C}.
5. Montrer que le quadrilatère \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}^{\prime} est un parallélogramme.
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[Raisonner.] 
Soient \text{ABCD} un carré dont les quatre côtés ont été partagés en quatre parts égales. On munit le plan du repère orthonormé (\text{A ; B , D}).
1. Déterminer les coordonnées des points \text{A, B, C} et \text{D}.
2. Reproduire la figure et placer les points \text{J} et \text{L}, milieux respectifs de [\mathrm{CD}] et [\mathrm{AB}].
2. Reproduire la figure et placer les points \text{J} et \text{L}, milieux respectifs de [\mathrm{CD}] et [\mathrm{AB}].
GeoGebra
3. Calculer les coordonnées des points \text{J} et \text{L}.
4. Placer les points \mathrm{I}\left(0\: ; \dfrac{3}{4}\right) et \mathrm{K}\left(1\: ; \dfrac{1}{4}\right).
5. Montrer que le quadrilatère \text{IJKL} est un parallélogramme.
4. Placer les points \mathrm{I}\left(0\: ; \dfrac{3}{4}\right) et \mathrm{K}\left(1\: ; \dfrac{1}{4}\right).
5. Montrer que le quadrilatère \text{IJKL} est un parallélogramme.
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Algo
[Modéliser.]
On considère l'algorithme ci-dessous où x_{\mathrm{A}}, y_{\mathrm{A}}, x_{\mathrm{B}},y_{\mathrm{B}}, x_{\mathrm{K}} et y_{\mathrm{K}} sont des nombres réels.
\boxed{
\begin{array} { l }
x_{\mathrm{B}} \leftarrow 2 \times x_{\mathrm{K}} - x_{\mathrm{A}} \\
y_{\mathrm{B}} \leftarrow 2 \times y_{\mathrm{K}} - y_{\mathrm{A}} \\
\end{array}
}
1. Faire fonctionner cet algorithme :
a. avec les points \mathrm{A}(1\:; 1) et \mathrm{K}(2\:; 1{,}5)
b. avec les points \mathrm{A}(3\:; 5) et \mathrm{K}(3\:; -1)
2. Quel est le rôle de cet algorithme ?
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[Calculer.]
Dans un repère orthonormé (\text{O ; I , J}), on donne les points \mathrm{A}(-2\: ; 1), \mathrm{B}(4\: ; 3) et \mathrm{C}(2\: ;-3).
1. Calculer les coordonnées du point :
a. \text{D} tel que \text{ABCD} soit un parallélogramme.
b. \text{E} tel que \text{ACBE} soit un parallélogramme.
a. \text{D} tel que \text{ABCD} soit un parallélogramme.
b. \text{E} tel que \text{ACBE} soit un parallélogramme.
Aide
ABCD est un parallélogramme lorsque [\mathrm{AC}] et [\mathrm{BD}] ont le même milieu.
2. Faire une figure et vérifier les résultats.
3. Montrer que \text{A} est le milieu du segment [\mathrm{DE}].
GeoGebra
3. Montrer que \text{A} est le milieu du segment [\mathrm{DE}].
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[Raisonner.]
On considère les points \text{A, B, D, E, F} et \text{O} suivants. On munit le plan du repère (\text{A ; B , D}).
1. Déterminer, dans ce repère, les coordonnées des points \text{A, B, D, E} et \text{F}.
2. Le point \text{O} est le milieu du segment [\mathrm{BD}]. Calculer ses coordonnées.
2. Le point \text{O} est le milieu du segment [\mathrm{BD}]. Calculer ses coordonnées.
3. Calculer les coordonnées du point \text{C} afin que le quadrilatère \text{ABCD} soit un parallélogramme.
4. Peut-on affirmer que \text{BDCE} est un parallélogramme ?
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