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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 5
Entrainement 3
Configurations du plan
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63
[Calculer.]
L'unité est le centimètre. On considère le triangle \text{RST} tel que \mathrm{RS}=4\text{,}8 cm, \mathrm{ST}=5\text{,}2 cm et \mathrm{RT}=2 cm.
1. Démontrer que le triangle est rectangle en \text{R} .
2. Calculer alors la mesure de tous les angles de ce triangle.
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64
[Calculer.]
On considère un triangle \text{LMN} rectangle en \text{N} tel que \cos (\widehat{\mathrm{MLN}})=0\text{,}6.
1. Calculer la valeur exacte de \sin (\widehat{\mathrm{MLN}}).
2. Sachant que \text{LM} = 10 cm, calculer la longueur des autres côtés du triangle. Arrondir au dixième.
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65
Démo
[Raisonner.] Soit (\text{O ; I , J}) un repère orthonormé du plan.
On donne les points \mathrm{A}(-2\:; 1) et \mathrm{B}(4\:; 3).
1. Calculer les coordonnées de \text{K}, milieu de [\mathrm{AB}].
2. Faire une figure et construire le cercle \mathcal{C} de diamètre [\mathrm{AB}].
2. Faire une figure et construire le cercle \mathcal{C} de diamètre [\mathrm{AB}].
GeoGebra
3. Soit \text{M}(a\,;b) un point du cercle \mathcal{C} distinct de \text{A} et \text{B}.
a. Conjecturer la nature du triangle \text{AMB}.
b. Montrer que \mathrm{AB}=2 \mathrm{KM}.
c. Exprimer \mathrm{AM}^{2} et \mathrm{BM}^{2} en fonction de a et b .
d. Prouver la conjecture.
a. Conjecturer la nature du triangle \text{AMB}.
b. Montrer que \mathrm{AB}=2 \mathrm{KM}.
c. Exprimer \mathrm{AM}^{2} et \mathrm{BM}^{2} en fonction de a et b .
d. Prouver la conjecture.
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[Raisonner.] \text{A} et \text{B} sont deux points du plan et \mathcal{C} est le cercle de diamètre [\mathrm{AB}] et de centre \text{O}. Le triangle \text{ABC} est tel que [\mathrm{AC}] coupe \mathcal{C} en \text{I.}
On note \text{J} le symétrique de \text{I} par rapport au centre \text{O}.
1. Faire une figure.
GeoGebra
2. Conjecturer la nature du quadrilatère \text{AIBJ}.
3. Démontrer la conjecture.
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67
[Raisonner.]
On considère deux cercles \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 de rayons différents sécants en deux points \text{A} et \text{B}.
Les points \text{M} et \text{N} sont tels que [\mathrm{AM}] et [\mathrm{AN}] soient des diamètres respectifs de \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2.
GeoGebra
Démontrer que les points \text{M, B} et \text{N} sont alignés.
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68
[Chercher.]
On considère la figure ci-dessous composée d'un triangle \text{ABC} et de trois demi-cercles de diamètre [\mathrm{AC}], [\mathrm{AB}] et [\mathrm{BC}].
On pose a=\mathrm{AB} et b=\mathrm{AC}.
On admet que \text{ABC} est un rectangle en \text{A}.
1. Déterminer l'aire des deux lunules oranges.
2. Comparer cette aire avec celle du triangle \text{ABC}.
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[Représenter.] On considère un carré \text{EFGH} inscrit dans un cercle \mathcal{C} qui est lui-même inscrit dans un carré \text{ABCD}.
Déterminer la proportion de la surface bleue par rapport à l'aire totale du carré \text{ABCD}.
Aide
On pourra introduire un repère orthonormé.
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70
Python
[Chercher.] On considère la figure ci-après et un programme correspondant écrit en Python où n est un entier naturel non nul. On donne \mathrm{OM}_{1}= 1 unité.
from math import sqrt
def Escargot(n):
a = 1
b = 1
i = 1
while i < n:
c = sqrt(a**2 + b**2)
a = c
i = i + 1
return(c)
1. Montrer que \mathrm{OM}_{2}=\sqrt{2}
2. Calculer la valeur exacte de \mathrm{OM}_{5}.
3. Conjecturer la valeur de \mathrm{OM}_{i} où i est un entier naturel non nul.
4. Tester le programme pour n = 3 en résumant chaque étape.
2. Calculer la valeur exacte de \mathrm{OM}_{5}.
3. Conjecturer la valeur de \mathrm{OM}_{i} où i est un entier naturel non nul.
4. Tester le programme pour n = 3 en résumant chaque étape.
5. Déterminer le rôle de ce programme.
6. Le nombre \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, noté \varphi, est appelé le nombre d'or.
a. Placer sur \left[\mathrm{OM}_{1}\right) le point \text{A} tel que \mathrm{M}_{1} \mathrm{A}=\mathrm{OM}_{5}.
b. En déduire la position du point \text{B} sur \left[\mathrm{OM}_{1}\right) tel que \mathrm{OB}=\varphi.
6. Le nombre \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, noté \varphi, est appelé le nombre d'or.
a. Placer sur \left[\mathrm{OM}_{1}\right) le point \text{A} tel que \mathrm{M}_{1} \mathrm{A}=\mathrm{OM}_{5}.
b. En déduire la position du point \text{B} sur \left[\mathrm{OM}_{1}\right) tel que \mathrm{OB}=\varphi.
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71
GeoGebra
[Raisonner.]
On considère la figure suivante composée d'un quadrilatère \text{ABCD} quelconque. On note \text{I, J, K} et \text{L} les milieux respectifs de [\mathrm{CD}],[\mathrm{BC}],[\mathrm{AB}] et \text{[AD].}
1. Sur la fenêtre graphique de GeoGebra, réaliser la figure.
GeoGebra
2. Construire le quadrilatère \text{IJKL} et conjecturer sa nature.
3. a. Montrer que les droites (\mathrm{IJ}) et (\mathrm{BD}) sont parallèles.
b. Montrer que les droites (\mathrm{L} \mathrm{K}) et (\mathrm{BD}) sont parallèles.
c. Que peut-on en déduire ?
4. Montrer que les droites (\mathrm{I} \mathrm{L}) et (\mathrm{KJ}) sont parallèles.
5. Conclure.
3. a. Montrer que les droites (\mathrm{IJ}) et (\mathrm{BD}) sont parallèles.
b. Montrer que les droites (\mathrm{L} \mathrm{K}) et (\mathrm{BD}) sont parallèles.
c. Que peut-on en déduire ?
4. Montrer que les droites (\mathrm{I} \mathrm{L}) et (\mathrm{KJ}) sont parallèles.
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