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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 5
Cours 1
Coordonnées d'un point du plan
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ARepères du plan
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Définition
Soient \text{O, I} et \text{J} trois points distincts du plan. On dit que le triplet (\text{O ; I , J}) forme un repère du plan lorsque les points \text{O, I} et \text{J} ne sont pas alignés. Dans ce cas :
- le point \text{O} est l'origine du repère ;
- la droite orientée \text { (OI) } est l'axe des abscisses et la distance \text{OI} donne l'unité sur cet axe ;
- la droite orientée (\mathrm{O} \mathrm{J}) est l'axe des ordonnées et la distance \text{OJ} donne l'unité sur cet axe.
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Si \text { (OI) } \perp(\mathrm{OJ}), le repère (\text{O ; I , J}) est dit orthogonal.
Si, de plus, \text{OI} = \text{OJ} , alors (\text{O ; I , J}) est dit orthonormé.
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Définition
Repérer un point \text{M} dans un repère (\text{O ; I , J}), c'est donner l'unique couple de nombres réels (x\: ; y) appelé coordonnées du point \text{M}. Le nombre x est l'abscisse du point \text{M} et le nombre y est l'ordonnée du point \text{M}.
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On écrit très souvent les coordonnées du point \text{A} à l'aide de la notation \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\:; y_{\mathrm{A}}\right)
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Exemple
Dans un repère (\text{O ; I , J}), les coordonnées de \text{O , I } et \text{J} sont respectivement (0\:; 0),(1\:; 0) et (0\:; 1).
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Application et méthode
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Énoncé
Le triangle de Sierpinski est une figure composée de triangles équilatéraux.
Déterminer les coordonnées des points \text{O , M , N} et \text{P} dans le repère (\text{A ; B , C}). Qu'en est-il dans le repère (\text{O ; I , J})\:?
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Pour déterminer les coordonnées \left(x_{\mathrm{M}} ; y_{\mathrm{M}}\right) dans un repère (\text{A ; B , C}) du plan :
1. construire le point \mathrm{M}_{1} projeté du point \text{M} sur la droite (\mathrm{AB}) parallèlement à la droite (\mathrm{AC})\:;
2. construire le point \mathrm{M}_{2} projeté du point \text{M} sur la droite (\mathrm{AC}) parallèlement à la droite (\mathrm{AB})\:;
3. conclure en remarquant que le point \text{M} a pour coordonnées \left(x_{\mathrm{M}_{1}} ; y_{\mathrm{M}_{2}}\right).
1. construire le point \mathrm{M}_{1} projeté du point \text{M} sur la droite (\mathrm{AB}) parallèlement à la droite (\mathrm{AC})\:;
2. construire le point \mathrm{M}_{2} projeté du point \text{M} sur la droite (\mathrm{AC}) parallèlement à la droite (\mathrm{AB})\:;
3. conclure en remarquant que le point \text{M} a pour coordonnées \left(x_{\mathrm{M}_{1}} ; y_{\mathrm{M}_{2}}\right).
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Solution
Dans le repère (\text{O ; I , J}), pour lire les coordonnées du point \text{M} :
1. on détermine x_{\mathrm{M}} en constatant que x_{\mathrm{M}}=x_{\mathrm{O}}=\dfrac{1}{2};
2. on détermine y_{\mathrm{M}} en constatant que y_{\mathrm{M}}=y_{\mathrm{Q}}=\dfrac{1}{4};
1. on détermine x_{\mathrm{M}} en constatant que x_{\mathrm{M}}=x_{\mathrm{O}}=\dfrac{1}{2};
2. on détermine y_{\mathrm{M}} en constatant que y_{\mathrm{M}}=y_{\mathrm{Q}}=\dfrac{1}{4};
3. on a alors : \text{M}\left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{4}\right).
4. De manière analogue, on obtient \mathrm{N}\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right), \mathrm{O}\left(\dfrac{1}{2} ; 0\right) et \mathrm{P}\left(\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right).
Le repère (\text{O ; I , J}) n'est pas adapté pour déterminer les coordonnées de \text{M, N} et \text{P .}
4. De manière analogue, on obtient \mathrm{N}\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right), \mathrm{O}\left(\dfrac{1}{2} ; 0\right) et \mathrm{P}\left(\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2}\right).
Le repère (\text{O ; I , J}) n'est pas adapté pour déterminer les coordonnées de \text{M, N} et \text{P .}
Pour s'entraîner
exercices et p. 159 et p. 160
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BCoordonnées du milieu d'un segment
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Propriété (admise)
Dans le plan muni d'un repère \text{(O ; I, J)}, on considère les points \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}} ; y_{\mathrm{A}}\right) et \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}}\right).
Le milieu \text{K} du segment [\mathrm{AB}] a pour coordonnées \left(x_{\mathrm{K}}\:; y_{\mathrm{K}}\right) définies par :
x_{\mathrm{K}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} et y_{\mathrm{K}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}
Le milieu \text{K} du segment [\mathrm{AB}] a pour coordonnées \left(x_{\mathrm{K}}\:; y_{\mathrm{K}}\right) définies par :
x_{\mathrm{K}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{B}}}{2} et y_{\mathrm{K}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{B}}}{2}
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L'abscisse de \text{K} est la moyenne des abscisses de \text{A} et \text{B}.
L'ordonnée de \text{K} est la moyenne des ordonnées de \text{A} et \text{B.}
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Exemple
Dans un repère (\text{O ; I , J}), si \text{A} a pour coordonnées (-1\:; 3,5) et \text{B} a pour coordonnées (2\:;-1,5) alors le milieu \text{K} du segment [\mathrm{AB}] a pour coordonnées \left(\dfrac{-1+2}{2}\:; \dfrac{3,5-1,5}{2}\right)
soit \mathrm{K}(0,5\:; 1).
soit \mathrm{K}(0,5\:; 1).
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Application et méthode
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Énoncé
Dans le repère (\text{O ; I , J}) de la figure du triangle de Sierpinski, on admet que \text{A}(-5\: ; 0), \text{B}(5\: ; 0) et \mathrm{C}(0\: ; 5 \sqrt{3}). Déterminer les coordonnées des points \text{O , N} et \text{Q} .
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Pour calculer le milieu \text{N} d'un segment [\mathrm{AC}] :
1. calculer l'abscisse du point \text{N} avec la formule : x_{\mathrm{N}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{C}}}{2}\:;
2. calculer l'ordonnée du point \text{N} avec la formule : y_{\mathrm{N}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{C}}}{2}\:;
3. conclure en donnant les coordonnées de \text{N} : \left(x_{\mathrm{N}}\:; y_{\mathrm{N}}\right)
1. calculer l'abscisse du point \text{N} avec la formule : x_{\mathrm{N}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{C}}}{2}\:;
2. calculer l'ordonnée du point \text{N} avec la formule : y_{\mathrm{N}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{C}}}{2}\:;
3. conclure en donnant les coordonnées de \text{N} : \left(x_{\mathrm{N}}\:; y_{\mathrm{N}}\right)
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Solution
Le point \text{O} est l'origine du repère donc \mathrm{O}(0\:; 0).
Le point \text{N} est le milieu de [\mathrm{AC}] donc :
1. x_{\mathrm{N}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{C}}}{2}=\dfrac{-5+0}{2}=\dfrac{-5}{2} et
2. y_{\mathrm{N}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{C}}}{2}=\dfrac{0+5 \sqrt{3}}{2}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{2} donc
3. \mathrm{N}\left(\dfrac{-5}{2}\:; \dfrac{5 \sqrt{3}}{2}\right)
Le point \text{N} est le milieu de [\mathrm{AC}] donc :
1. x_{\mathrm{N}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{C}}}{2}=\dfrac{-5+0}{2}=\dfrac{-5}{2} et
2. y_{\mathrm{N}}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{C}}}{2}=\dfrac{0+5 \sqrt{3}}{2}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{2} donc
3. \mathrm{N}\left(\dfrac{-5}{2}\:; \dfrac{5 \sqrt{3}}{2}\right)
Le point \text{Q} est le milieu de [\mathrm{AN}] , donc :
1. x_{\mathrm{Q}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{N}}}{2}=\dfrac{-5+\dfrac{-5}{2}}{2}=\dfrac{-15}{4} et
2. y_{Q}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{N}}}{2}=\dfrac{0+\dfrac{5 \sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{4} donc
3. \mathrm{Q}\left(\dfrac{-15}{4}\: ; \dfrac{5 \sqrt{3}}{4}\right)
1. x_{\mathrm{Q}}=\dfrac{x_{\mathrm{A}}+x_{\mathrm{N}}}{2}=\dfrac{-5+\dfrac{-5}{2}}{2}=\dfrac{-15}{4} et
2. y_{Q}=\dfrac{y_{\mathrm{A}}+y_{\mathrm{N}}}{2}=\dfrac{0+\dfrac{5 \sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{4} donc
3. \mathrm{Q}\left(\dfrac{-15}{4}\: ; \dfrac{5 \sqrt{3}}{4}\right)
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