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Thème 1 : Une longue histoire de la matière
Ch. 1
Les éléments chimiques
Ch. 2
Des édifices ordonnés : les cristaux
Ch. 3
Une structure complexe : la cellule
Thème 2 : Le Soleil, notre source d'énergie
Ch. 4
Le rayonnement solaire
Ch. 5
Le bilan radiatif terrestre
Ch. 6
Énergie solaire et photosynthèse
Ch. 7
Le bilan thermique du corps humain
Thème 3 : La Terre, un astre singulier
Ch. 8
La forme de la Terre
Ch. 9
L'histoire de l’âge de la Terre
Ch. 10
La Terre dans l’Univers
Thème 4 : Son et musique, porteurs d'information
Ch. 11
Le son, phénomène vibratoire
Ch. 12
Musique et nombres
Ch. 13
Le son, une information à coder
Ch. 14
Entendre la musique
Projet Experimental et Numérique
Livret Maths
Annexes
Chapitre 11
Exercices
Le repaire des initiés
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4La production d'un signal composé
✔ Lire et utiliser l'analyse spectrale d'un son composé
Un son composé est caractérisé par une fréquence fondamentale f (la plus basse) et par des fréquences harmoniques (multiples de f). Lorsque l'on réalise l'analyse spectrale d'un signal associé à un son composé, on obtient le graphique ci-contre.
Il est possible de représenter graphiquement ce signal en fonction du temps à la calculatrice en traçant la somme des sinusoïdes de fréquences multiples de f à partir de :
Dans cette relation, t correspond au temps exprimé en secondes (s), A_{\text{n}} les amplitudes en volts (V) du fondamental et de chaque harmonique et A(t) l'amplitude du signal associé au son composé en fonction du temps envolts (V).
Un son composé est caractérisé par une fréquence fondamentale f (la plus basse) et par des fréquences harmoniques (multiples de f). Lorsque l'on réalise l'analyse spectrale d'un signal associé à un son composé, on obtient le graphique ci-contre.
Il est possible de représenter graphiquement ce signal en fonction du temps à la calculatrice en traçant la somme des sinusoïdes de fréquences multiples de f à partir de :
A(t)=A_{0} \cdot \sin (2 \pi \cdot f \cdot t)+\ldots+A_{\text{n}} \cdot \sin (2(n+1) \cdot \pi \cdot f \cdot t)
Dans cette relation, t correspond au temps exprimé en secondes (s), A_{\text{n}} les amplitudes en volts (V) du fondamental et de chaque harmonique et A(t) l'amplitude du signal associé au son composé en fonction du temps envolts (V).
1. Relevez la fréquence fondamentale f du son composé.
2. Établissez un tableau faisant correspondre, pour chaque f_{n}, l'amplitude A_{n} d'après l'analyse spectrale du signal. Vous vous limiterez aux harmoniques d'amplitude non nulle.
3. D'après la relation générale fournie dans l'énoncé, complétez la relation en tenant compte de la valeur de la fréquence fondamentale et des valeurs des harmoniques d'amplitude non nulle :
A(t)=A_{0} \cdot \sin (2 \pi \cdot f \cdot t)+A_{1} \cdot \sin (4 \pi \cdot f \cdot t)\;+\dots;
2. Établissez un tableau faisant correspondre, pour chaque f_{n}, l'amplitude A_{n} d'après l'analyse spectrale du signal. Vous vous limiterez aux harmoniques d'amplitude non nulle.
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3. D'après la relation générale fournie dans l'énoncé, complétez la relation en tenant compte de la valeur de la fréquence fondamentale et des valeurs des harmoniques d'amplitude non nulle :
A(t)=A_{0} \cdot \sin (2 \pi \cdot f \cdot t)+A_{1} \cdot \sin (4 \pi \cdot f \cdot t)\;+\dots;
4. Tracez à la calculatrice ou sur un logiciel adapté l'amplitude du signal A(t) en fonction du temps t (les options d'affichage doivent correspondre à une abscisse comprise entre 0 et 0,01 s et une ordonnée comprise entre -1 et 1).
GeoGebra
Doc.
Spectre en fréquences obtenu après analyse spectrale d'un signal associé à un son composé
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5Le hurlement du coyote
✔ Utiliser la relation liant niveau d'intensité sonore à l'intensité sonore, puissance par unité de surface
Le coyote Canis latrans est une espèce de canidés essentiellement présente en Amérique du Nord. Le terme Canis latrans signifie en français chien aboyeur car le coyote est réputé pour ses hurlements lui permettant de communiquer sur de longues distances. Un hurlement comme celui-ci a une puissance sonore P d'environ 10‑2 W.
On effectue l'approximation suivante : le son produit par le coyote se propage de manière sphérique, sans changement de milieu de propagation.
Le coyote Canis latrans est une espèce de canidés essentiellement présente en Amérique du Nord. Le terme Canis latrans signifie en français chien aboyeur car le coyote est réputé pour ses hurlements lui permettant de communiquer sur de longues distances. Un hurlement comme celui-ci a une puissance sonore P d'environ 10‑2 W.
On effectue l'approximation suivante : le son produit par le coyote se propage de manière sphérique, sans changement de milieu de propagation.
1. Rappelez la relation mathématique permettant de calculer la surface d'une sphère S à partir de son rayon.
2. Exprimez l'intensité sonore I à une distance d du coyote sachant que toute la puissance sonore émise est répartie uniformément sur la surface d'une sphère de rayon d.
3. Déduisez l'expression du niveau d'intensité sonore L dépendant de la distance d au coyote.
2. Exprimez l'intensité sonore I à une distance d du coyote sachant que toute la puissance sonore émise est répartie uniformément sur la surface d'une sphère de rayon d.
3. Déduisez l'expression du niveau d'intensité sonore L dépendant de la distance d au coyote.
4. Calculez les niveaux d'intensité sonore à une distance de 10 m, 100 m et 1 km.
Doc.
Un coyote en train de hurler
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6Le placement des doigts sur le violon
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Le violon est un instrument à cordes frottées. À l'aide d'un archet, le musicien exerce une excitation sur une
corde qui permet de la faire vibrer. En fonction de la position des doigts sur le manche, le violoniste peut modifier la note de la corde en raccourcissant sa longueur l. Les autres caractéristiques de la corde restent inchangées.
On se propose dans cet exercice de déterminer la longueur optimale l des cordes d'un violon pour un passage le plus aisé possible entre les notes (c'est-à-dire sans avoir à déplacer la main le long du manche). La troisième corde, accordée à vide pour obtenir un la3, doit présenter un écartement entre l'index (pour obtenir un la#3) et l'auriculaire (pour obtenir un mi4), techniquement réalisable sans avoir à bouger la main. On note l_{1} et f_{1} la longueur et la fréquence fondamentale de la corde associées à l'obtention du la#3 ; l_{2} et f_{2} les mêmes grandeurs associées à l'obtention du mi4.
On se propose dans cet exercice de déterminer la longueur optimale l des cordes d'un violon pour un passage le plus aisé possible entre les notes (c'est-à-dire sans avoir à déplacer la main le long du manche). La troisième corde, accordée à vide pour obtenir un la3, doit présenter un écartement entre l'index (pour obtenir un la#3) et l'auriculaire (pour obtenir un mi4), techniquement réalisable sans avoir à bouger la main. On note l_{1} et f_{1} la longueur et la fréquence fondamentale de la corde associées à l'obtention du la#3 ; l_{2} et f_{2} les mêmes grandeurs associées à l'obtention du mi4.
1. Estimez l'écartement maximal possible, noté e et exprimé en centimètres (cm), entre votre index et votre auriculaire.
2. Sachant que la fréquence fondamentale d'une corde vibrante est inversement proportionnelle à sa longueur, démontrez que f_{1} \cdot l_{1}=f_{2} \cdot l_{2}.
3. En précisant dans un premier temps la relation entre l_{1}, l_{2} et e, déterminez l'expression de la longueur l_{2} en fonction de f_{1}, e et f_{2}.
4. En réutilisant le résultat de la question 2 pour le la3 et le mi4, démontrez que la longueur l des cordes s'exprime l=\dfrac{f_{2} \cdot f_{1} \cdot e}{f \cdot\left(f_{2}-f_{1}\right)} et calculez cette longueur pour l'écartement e estimé à partir de vos doigts. Ce résultat est-il cohérent avec la dimension d'un violon traditionnel ?
2. Sachant que la fréquence fondamentale d'une corde vibrante est inversement proportionnelle à sa longueur, démontrez que f_{1} \cdot l_{1}=f_{2} \cdot l_{2}.
3. En précisant dans un premier temps la relation entre l_{1}, l_{2} et e, déterminez l'expression de la longueur l_{2} en fonction de f_{1}, e et f_{2}.
4. En réutilisant le résultat de la question 2 pour le la3 et le mi4, démontrez que la longueur l des cordes s'exprime l=\dfrac{f_{2} \cdot f_{1} \cdot e}{f \cdot\left(f_{2}-f_{1}\right)} et calculez cette longueur pour l'écartement e estimé à partir de vos doigts. Ce résultat est-il cohérent avec la dimension d'un violon traditionnel ?
Doc. 1
Quelques correspondances notes-fréquences
| Note | la3 | la#3 | mi4 |
| Fréquence (Hz) | 440,00 | 466,16 | 659,26 |
Instant maths
Retrouvez des rappels de cours et des
exercices d'application sur le calcul littéral .
Doc. 2
Positions des doigts pour obtenir une note sur le manche d'un violon
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BLe diapason
✔ Déterminer la fréquence d'un signal périodique.
Le diapason est un outil utilisé par les musiciens pour s'accorder. En effet, s'il est parfaitement dimensionné, la vibration de la partie métallique permet la production d'un son de fréquence f, utilisé pour l'accordage des instruments.
Pour un même matériau utilisé, la fréquence f d'un diapason à branches cylindriques de rayon a et de longueur l peut être calculé de la manière suivante :
Dans cette relation, f_0 est un coefficient homogène à une fréquence exprimée en Hz.
Le diapason est un outil utilisé par les musiciens pour s'accorder. En effet, s'il est parfaitement dimensionné, la vibration de la partie métallique permet la production d'un son de fréquence f, utilisé pour l'accordage des instruments.
Pour un même matériau utilisé, la fréquence f d'un diapason à branches cylindriques de rayon a et de longueur l peut être calculé de la manière suivante :
f = \dfrac{f0 \cdot a}{l}
Dans cette relation, f_0 est un coefficient homogène à une fréquence exprimée en Hz.
1. Calculez la fréquence f du son produit par un diapason.
2. Proposez une modification de a ou de l pour doubler la fréquence fondamentale f du diapason.
2. Proposez une modification de a ou de l pour doubler la fréquence fondamentale f du diapason.
Doc.
Évolution temporelle de l'amplitude d'un signal électrique
associé au son du diapason mesuré par un microphone
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CLe niveau d'intensité sonore dans un concert
✔ Relier intensité sonore et niveau d'intensité sonore
Lors d'un concert, il est primordial que l'ensemble du public puisse percevoir correctement la musique. Les spectateurs à l'avant ne doivent pas être incommodés par le niveau d'intensité sonore, tandis que ceux derrière ne doivent pas être lésés par un niveau trop faible.
On considère un concert pour lequel une foule compacte forme un demi-disque de telle manière que l'ensemble des spectateurs se trouve à une portée de 100 m maximum et 5 m minimum de l'enceinte. Cette enceinte produit un son qui se propage de manière homogène uniquement dans la demi-sphère face à elle.
Lors d'un concert, il est primordial que l'ensemble du public puisse percevoir correctement la musique. Les spectateurs à l'avant ne doivent pas être incommodés par le niveau d'intensité sonore, tandis que ceux derrière ne doivent pas être lésés par un niveau trop faible.
On considère un concert pour lequel une foule compacte forme un demi-disque de telle manière que l'ensemble des spectateurs se trouve à une portée de 100 m maximum et 5 m minimum de l'enceinte. Cette enceinte produit un son qui se propage de manière homogène uniquement dans la demi-sphère face à elle.
1. Sachant que le son dans un concert peut atteindre 120 dB au plus près des enceintes à l'avant, calculez l'intensité sonore I_1 perçue par les premiers spectateurs.
2. Sachant que l'intensité sonore est une puissance par unité de surface, en déduire l'expression de I_2 en fonction de I_1 et des distances considérées d_1 et d_2.
3. Démontrez que L_2 = 10 \ \log\left( \dfrac{I_1 \cdot d_1^2}{I_0 \cdot d_2^2}\right).
2. Sachant que l'intensité sonore est une puissance par unité de surface, en déduire l'expression de I_2 en fonction de I_1 et des distances considérées d_1 et d_2.
3. Démontrez que L_2 = 10 \ \log\left( \dfrac{I_1 \cdot d_1^2}{I_0 \cdot d_2^2}\right).
4. Calculez la perte, en décibels, du niveau d'intensité sonore perçu entre le public à l'avant et le public à l'arrière lors d'un concert.
Doc.
Une foule devant la scène et des spectateurs plus éloignés lors d'un concert
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