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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 9
Cours 1
Proportions
18 professeurs ont participé à cette page
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AProportion et pourcentage
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Définition
Soient \text{E} un ensemble de référence non vide et n_{\text{E}} le nombre d'éléments de \text{E} .
Soient \text{A} une partie de l'ensemble \text{E} et n_{\text{A}} le nombre d'éléments de \text{A} .
La proportion p de \text{A} dans \text{E} est le réel défini par p=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}}.
La proportion p de \text{A} dans \text{E} est le réel défini par p=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}}.
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Un pourcentage exprimant une proportion est un « rapport d'une partie (\text{A}) au tout
(\text{E}) ».
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Exemple
Lors d'une élection, sur 864 inscrits, 648 personnes ont voté.
La proportion de votants est p=\dfrac{648}{864}=0{,}75.
Donc, il y a 75 % de votants parmi les inscrits.
La proportion de votants est p=\dfrac{648}{864}=0{,}75.
Donc, il y a 75 % de votants parmi les inscrits.
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Une
proportion peut être
exprimée sous forme
décimale, sous forme
de fraction ou de
pourcentage :
0{,}3=\dfrac{30}{100}=30\: \%.
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Conséquence
À partir de la définition précédente, on peut retrouver l'effectif manquant n_{\mathrm{A}} ou n_{\mathrm{E}}
connaissant la proportion p de \mathrm{A} dans \mathrm{E} :
n_{\mathrm{A}}=p \times n_{\mathrm{E}} et, pour p \neq 0, n_{\mathrm{E}}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{p}.
n_{\mathrm{A}}=p \times n_{\mathrm{E}} et, pour p \neq 0, n_{\mathrm{E}}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{p}.
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Propriété
Pour tout ensemble \mathrm{A} contenu dans un ensemble non vide \mathrm{E} , on a : 0 \leqslant p \leqslant 1.
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Démonstration
- On a n_{\mathrm{A}} \geqslant 0 et n_{\mathrm{E}} >0.
Or, le quotient de deux réels positifs est positif d'où \dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}} \geqslant 0 donc p \geqslant 0. - \mathrm{A} étant une partie de \mathrm{E} , n_{\mathrm{A}} \leqslant n_{\mathrm{E}} d'où \dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}} \leqslant 1, donc p \leqslant 1.
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Application et méthode
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Énoncé
On s'intéresse à la composition d'une tablette de chocolat de 180 g.
1. Elle comporte 72 g de sucre : quelle proportion (en pourcentage) cela représente-t-il ?
2. Le cacao constitue 55 % de la tablette : quelle masse cela représente-t-il ?
1. Elle comporte 72 g de sucre : quelle proportion (en pourcentage) cela représente-t-il ?
2. Le cacao constitue 55 % de la tablette : quelle masse cela représente-t-il ?
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Repérer l'ensemble de référence \text{E} , « la
tablette de chocolat » et n_{\text{E}} son effectif :
n_{\text{E}} = 180.
1. Repérer la partie \text{S} de la tablette de chocolat « le sucre qu'elle contient » et n_{\text{S}} son effectif : n_{\text{S}} = 72.
La proportion p de \text{S} dans \text{E} est alors : p=\dfrac{n_{\mathrm{S}}}{n_{\mathrm{E}}}.
2. Repérer une autre partie \text{C} de la tablette de chocolat « la teneur en cacao ». On sait que la proportion p de \text{C} dans \text{E} est de 55 %, soit p = 0\text{,}55.
Utiliser alors la formule : n_{\mathrm{C}}=n_{\mathrm{E}} \times p.
1. Repérer la partie \text{S} de la tablette de chocolat « le sucre qu'elle contient » et n_{\text{S}} son effectif : n_{\text{S}} = 72.
La proportion p de \text{S} dans \text{E} est alors : p=\dfrac{n_{\mathrm{S}}}{n_{\mathrm{E}}}.
2. Repérer une autre partie \text{C} de la tablette de chocolat « la teneur en cacao ». On sait que la proportion p de \text{C} dans \text{E} est de 55 %, soit p = 0\text{,}55.
Utiliser alors la formule : n_{\mathrm{C}}=n_{\mathrm{E}} \times p.
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Solution
1. La proportion p de sucre dans la tablette de chocolat est :
p=\dfrac{72}{180}=0\text{,}4 soit 40 %.
p=\dfrac{72}{180}=0\text{,}4 soit 40 %.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. La masse de cacao m dans la tablette de chocolat est :
m=180 \times \dfrac{55}{100}=99 soit 99 g.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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B Pourcentage de pourcentage
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Propriété
Soient \text{F} un ensemble non vide de référence, \text{E} une partie non vide de \text{F} et \text{A} une partie de \text{E} .
Si p_{1} est la proportion de \text{A} dans \text{E} et si p_{2} est la proportion de \text{E} dans \text{F} alors la proportion de \text{A} dans \text{F} est p=p_{1} \times p_{2}.
Si p_{1} est la proportion de \text{A} dans \text{E} et si p_{2} est la proportion de \text{E} dans \text{F} alors la proportion de \text{A} dans \text{F} est p=p_{1} \times p_{2}.
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EXCLU. PREMIUM 2023
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Démonstration
Soient \text{F} un ensemble non vide de référence et n_{\text{F}} le nombre d'éléments dans \text{F} . \text{E} est une partie non vide de \text{F} contenant n_{\text{E}} éléments et \text{A} est une partie de \text{E}
contenant n_{\text{A}} éléments. On sait que n_{\mathrm{F}} \neq 0 et n_{\mathrm{E}} \neq 0.
On a : p_{1} \times p_{2}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}} \times \dfrac{n_{\mathrm{E}}}{n_{\mathrm{F}}}=\dfrac{n_{\mathrm{A}} \times n_{\mathrm{E}}}{n_{\mathrm{E}} \times n_{\mathrm{F}}}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{F}}}=p.
- Si p_{1} est la proportion de \text{A} dans \mathrm{E} , alors p_{1}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}}.
- Si p_{2} est la proportion de \mathrm{E} dans \text{F} , alors p_{2}=\dfrac{n_{\mathrm{E}}}{n_{\mathrm{F}}}.
- Si p est la proportion de \text{A} dans \text{F} , alors p=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{F}}}.
On a : p_{1} \times p_{2}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{E}}} \times \dfrac{n_{\mathrm{E}}}{n_{\mathrm{F}}}=\dfrac{n_{\mathrm{A}} \times n_{\mathrm{E}}}{n_{\mathrm{E}} \times n_{\mathrm{F}}}=\dfrac{n_{\mathrm{A}}}{n_{\mathrm{F}}}=p.
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Exemple
Le Syndicat des Éditeurs de Logiciels de Loisirs déclare que 53 % des Français jouent régulièrement aux jeux vidéos. Parmi eux, 47 % sont des femmes.
En notant p la proportion de femmes jouant aux jeux vidéos parmi tous les Français, on a :
p=\dfrac{53}{100} \times \dfrac{47}{100}=0{,}2491=24{,}91\: \%
Parmi les Français, la proportion de femmes jouant aux jeux vidéos est de 24,91 %.
En notant p la proportion de femmes jouant aux jeux vidéos parmi tous les Français, on a :
p=\dfrac{53}{100} \times \dfrac{47}{100}=0{,}2491=24{,}91\: \%
Parmi les Français, la proportion de femmes jouant aux jeux vidéos est de 24,91 %.
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Application et méthode
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Énoncé
Dans une classe, 60 % des élèves pratiquent un sport. Parmi ces élèves, 40 % sont des garçons.
Donner le pourcentage de garçons pratiquant un sport dans la classe.
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Commencer par traduire les pourcentages
en termes de proportion.
Appliquer la formule pour trouver la proportion de garçons sportifs dans la classe : p=p_{1} \times p_{2}=0\text{,}24.
- Proportion de sportifs dans la classe : p_{1} = 0\text{,}6.
- Proportion de garçons chez les sportifs : p_{2} = 0\text{,}4.
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Solution
On calcule la proportion : p=0{,}6 \times 0{,}4=0\text{,}24.
Donc 24 % des élèves de la classe sont des garçons pratiquant un sport.
Donc 24 % des élèves de la classe sont des garçons pratiquant un sport.
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Pour s'entraîner
Exercices p. 259
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