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Thème 1 : Une longue histoire de la matière
Ch. 1
Les éléments chimiques
Ch. 2
Des édifices ordonnés : les cristaux
Ch. 3
Une structure complexe : la cellule
Thème 2 : Le Soleil, notre source d'énergie
Ch. 4
Le rayonnement solaire
Ch. 5
Le bilan radiatif terrestre
Ch. 6
Énergie solaire et photosynthèse
Ch. 7
Le bilan thermique du corps humain
Thème 3 : La Terre, un astre singulier
Ch. 8
La forme de la Terre
Ch. 9
L'histoire de l’âge de la Terre
Ch. 10
La Terre dans l’Univers
Thème 4 : Son et musique, porteurs d'information
Ch. 11
Le son, phénomène vibratoire
Ch. 12
Musique et nombres
Ch. 13
Le son, une information à coder
Ch. 14
Entendre la musique
Projet Experimental et Numérique
Livret Maths
Annexes
Chapitre 12
Exercices
Le repaire des initiés
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4Un cycle infini ?
✔ Mettre en place un raisonnement mathématique pour prouver que le cycle des quintes est infini
.
On sait que la gamme pythagoricienne est décalée d'un comma par rapport à l'octave. La douzième quinte de la gamme de Pythagore est donc différente de la 7e octave. Mais est-ce le cas pour toutes les quintes ? Existe-t-il une suite de quintes qui permet d'obtenir l'octave ?
On sait que la gamme pythagoricienne est décalée d'un comma par rapport à l'octave. La douzième quinte de la gamme de Pythagore est donc différente de la 7e octave. Mais est-ce le cas pour toutes les quintes ? Existe-t-il une suite de quintes qui permet d'obtenir l'octave ?
Données
- Une octave correspond à un intervalle de 2.
- Une quinte correspond à un intervalle de \dfrac{3}{2}.
- Les fréquences des notes successives sont trouvées en faisant le produit des intervalles.
1. Traduisez mathématiquement la phrase en gras dans le texte en partant d'une fréquence f_{0}.
2. Traduisez mathématiquement l'égalité entre la n-ième quinte et la p-ième octave.
3. Sachant qu'une puissance de 3 est forcément impaire, existe-t-il une solution à l'équation précédente ?
2. Traduisez mathématiquement l'égalité entre la n-ième quinte et la p-ième octave.
3. Sachant qu'une puissance de 3 est forcément impaire, existe-t-il une solution à l'équation précédente ?
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5La gamme de Zarlino
✔ Calculer des puissances et des quotients en lien avec le cycle des quintes
Gioseffo Zarlino (1517-1590).
1. L'accord fait par une note, sa tierce et sa quinte forme ce qu'on appelle un accord parfait majeur, et il est particulièrement consonant.
2. Pour écrire sa gamme à 7 notes do, ré, mi, f\hspace{-1.5px}a, sol, la, si, Zarlino utilise 3 accords parfaits : le premier part de la fondamentale et est donc : do-mi-sol. Le deuxième part de la quinte de la fondamentale qui est donc sol et l'accord est donc : sol-si-ré. Le troisième part de la note f\hspace{-1.5px}a, dont la quinte est la fondamentale do. Cet accord est donc : f\hspace{-1.5px}a‑la‑do.
3. Comparez la fréquence des notes obtenues avec celle de la gamme de Pythagore.
Au XVIe siècle, Gioseffo Zarlino propose d'améliorer la méthode de Pythagore, exclusivement
fondée sur la quinte, en ajoutant la tierce. Au lieu de construire sa gamme à 12 notes (les mêmes que dans la gamme de Pythagore) en n'utilisant que la quinte, il utilise aussi la tierce. Il s'agit de l'harmonie que l'on entend si l'on fait vibrer en même temps une corde d'une certaine longueur et une autre mesurant les quatre cinquièmes de la première : la fréquence de la tierce vaut alors \dfrac{5}{4} de la note de base.
Doc.
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- Donnez l'intervalle entre deux notes de fréquences f_{1} et f_{2} à la tierce et deux notes de fréquences f_{1} et f_{3} à la quinte.
- Déduisez-en l'intervalle entre la note à la tierce de fréquence f_{2} et la note à la quinte de fréquence f_{3}.
2. Pour écrire sa gamme à 7 notes do, ré, mi, f\hspace{-1.5px}a, sol, la, si, Zarlino utilise 3 accords parfaits : le premier part de la fondamentale et est donc : do-mi-sol. Le deuxième part de la quinte de la fondamentale qui est donc sol et l'accord est donc : sol-si-ré. Le troisième part de la note f\hspace{-1.5px}a, dont la quinte est la fondamentale do. Cet accord est donc : f\hspace{-1.5px}a‑la‑do.
- En partant de la note do fictive de fréquence 100 Hz, construisez la gamme à 7 notes de Zarlino et complétez la troisième ligne du tableau ci-dessous.
Aide : vous pouvez diviser par deux pour rester dans l'octave.
| Note | Do | Ré | Mi | F\hspace{-1.5px}a | Sol | La | Si | Do |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence dans la gamme de Pythagore (Hz) | 100 | 113 | 127 | 132 | 150 | 169 | 190 | 200 |
| Fréquence dans la gamme de Zarlino (Hz) | 100 | 200 |
3. Comparez la fréquence des notes obtenues avec celle de la gamme de Pythagore.
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6Construction d'une harpe
✔ Conduire un raisonnement quantitatif
On cherche à construire une harpe à 13 cordes pour jouer les 13 notes de la gamme de Pythagore incluant une gamme complète et la note à l'octave.
La fréquence fondamentale du son émis par une corde est liée à la longueur de la corde par la relation suivante :
où T est la tension de la corde et \mu la masse linéique. On supposera que toutes les cordes ont la même tension et la même masse linéique.
On cherche à construire une harpe à 13 cordes pour jouer les 13 notes de la gamme de Pythagore incluant une gamme complète et la note à l'octave.
Données
La fréquence fondamentale du son émis par une corde est liée à la longueur de la corde par la relation suivante :
f=\dfrac{1}{2 L} \cdot \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}
où T est la tension de la corde et \mu la masse linéique. On supposera que toutes les cordes ont la même tension et la même masse linéique.
Doc.
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1. Si la corde correspondant à la note do a une longueur L, quelle devra être la longueur de la corde jouant le do à l'octave ?
2. Déduisez-en l'intervalle de longueurs de l'ensemble des cordes.
3. Pour construire sa gamme, Pythagore a pris la quinte de sa note de départ. Exprimez la longueur de la corde jouant la quinte.
4. Pour trouver la longueur de la corde suivante, il a pris la quinte de la quinte et si la longueur de la corde sortait de l'intervalle trouvé à la question 2, alors il la divisait autant de fois par deux que nécessaire pour qu'elle rentre dans cet intervalle. Exprimez la longueur des 10 autres cordes de la harpe.
5. Rédigez un schéma de la harpe obtenue et associez chacune des cordes à sa note (do, do#, ré, miƄ, mi, f\hspace{-1.5px}a, f\hspace{-1.5px}a#, sol, sol#, la, si, siƄ, do à l'octave).
2. Déduisez-en l'intervalle de longueurs de l'ensemble des cordes.
3. Pour construire sa gamme, Pythagore a pris la quinte de sa note de départ. Exprimez la longueur de la corde jouant la quinte.
4. Pour trouver la longueur de la corde suivante, il a pris la quinte de la quinte et si la longueur de la corde sortait de l'intervalle trouvé à la question 2, alors il la divisait autant de fois par deux que nécessaire pour qu'elle rentre dans cet intervalle. Exprimez la longueur des 10 autres cordes de la harpe.
5. Rédigez un schéma de la harpe obtenue et associez chacune des cordes à sa note (do, do#, ré, miƄ, mi, f\hspace{-1.5px}a, f\hspace{-1.5px}a#, sol, sol#, la, si, siƄ, do à l'octave).
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7Gamme et transposition
✔ Calculer des puissances et des quotients en lien avec le cycle des quintes
Luciano Pavarotti (1935-2007), chanteur d'opéra.
1. Au départ, l'enchaînement des notes est f\hspace{-1.5px}a, sol# et miƄ, il faut transposer de trois notes vers le bas. Quel sera le nouvel enchaînement de notes ?
2. L'intervalle dans la gamme de Pythagore est-il constant ?
3. La perception auditive est due à l'intervalle entre les notes. La transposition dans la gamme de Pythagore change-t-elle la perception du morceau ? Justifiez.
4. Même question dans la gamme tempérée.
5. Quel est l'intérêt de la gamme tempérée ?
On donne à un chanteur d'opéra un morceau
de musique écrit avec la gamme de
Pythagore qui ne convient pas à sa tessiture.
Il faut donc transposer le morceau de
trois notes vers le bas.
La transposition ne doit pas changer la
perception auditive et le morceau doit être
reconnu quelle que soit la hauteur de ses
notes. La gamme à 12 notes do, do#, ré, miƄ,
mi, f\hspace{-1.5px}a, f\hspace{-1.5px}a#, sol, sol#, la, siƄ, si.
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2. L'intervalle dans la gamme de Pythagore est-il constant ?
3. La perception auditive est due à l'intervalle entre les notes. La transposition dans la gamme de Pythagore change-t-elle la perception du morceau ? Justifiez.
4. Même question dans la gamme tempérée.
5. Quel est l'intérêt de la gamme tempérée ?
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ADes notes à l'octave
✔ Maîtriser les notions de cours
.
Pablo et Thimothée jouent simultanément avec leur flûte alto et sopranino une note. Amira qui les écoute certifie qu'ils ont joué la même note. Après recherches, il s'avère que Pablo a joué un La2 de fréquence f_{1} =220 Hz.
Krishna, divinité hindoue, jouant de la flûte.
.
Pablo et Thimothée jouent simultanément avec leur flûte alto et sopranino une note. Amira qui les écoute certifie qu'ils ont joué la même note. Après recherches, il s'avère que Pablo a joué un La2 de fréquence f_{1} =220 Hz.
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1. Après avoir rappelé la définition d'une octave, déterminer la fréquence de la note jouée par Thimothée sachant qu'elle se situe trois octaves plus haut.
2. Justifier pourquoi d'un point de vue mathématique ces notes ne sont pas dissonantes.
2. Justifier pourquoi d'un point de vue mathématique ces notes ne sont pas dissonantes.
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