Dérivation

La chute d'une balle de tennis a été prise en photos à intervalles réguliers de 0,02 seconde (chronophotographie). Des mesures de la distance d(t) parcourue par la balle (en mètre) en fonction du temps t (en seconde) sont effectuées et sont données dans le tableau suivant.


La vitesse moyenne v d'un objet est le quotient de la distance parcourue d par le temps t mis pour la parcourir. Avec les données de l'exercice, on l'exprime en mètre par seconde (m·s^-1) : v=\dfrac{d}{t}.

Un artisan produit et commercialise des biscuits en sachets. Le bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente de n dizaines de sachets de biscuits, avec 0 \lt n \lt 1\,000, est donné en euro par la fonction \text{B} définie par : \mathrm{B}(n)=-0{,}02 n^{2}+20 n-1\,000.

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Le nombre annuel de dizaines de sachets de biscuits vendus est passé de 200 à 300 de 2017 à 2018. Déterminer la variation absolue en euro du bénéfice annuel de cet artisan entre 2017 et 2018.

Aide

La variation absolue est la différence entre la valeur finale v_1 et la valeur initiale v_0.

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En déduire de combien d'euros a varié en moyenne le bénéfice annuel de cet artisan par dizaine de sachets supplémentaire produite.

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Soit h un réel non nul. On suppose qu'en 2019, le nombre de dizaines de sachets de biscuits vendus passe de 300 à 300 + h . Calculer l'accroissement moyen, en euro, du bénéfice annuel pour h = 0{,}5 , puis pour h = 0{,}1 .

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Exprimer, en fonction de h , l'accroissement moyen, en euro, du bénéfice annuel lorsque les ventes passent de 50 à 50 + h dizaines de sachets de biscuits.

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x^{2}. On appelle \mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé et on considère le point \text{A} de \mathcal{C}_f d'abscisse 2.

Soit h un réel non nul. On appelle \text{H} le point de \mathcal{C}_f d'abscisse 2 + h .

On s'intéresse aux coefficients directeurs des sécantes (\mathrm{AH}) quand h se rapproche de 0.

On note \tau(h) le coefficient directeur de la sécante (\mathrm{AH}).

À l'aide de GeoGebra ou en faisant les calculs à la main, relever les valeurs des coefficients directeurs des sécantes (\mathrm{AH}) à \mathcal{C}_f pour les différentes valeurs de h données dans le tableau.

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Quand h prend des valeurs de plus en plus proches de 0, vers quel point de la courbe \mathcal{C}_f le point H semble-t-il se rapprocher ? De quelle valeur le coefficient directeur \tau(h) semble-t-il se rapprocher ?

3

Exprimer en fonction de h le coefficient directeur \tau(h) de la droite (\mathrm{AH}) lorsque \text{A} et \text{H} sont distincts.

Aide

On écrit les coordonnées des points \text{A} et \text{H} et on utilise la formule du coefficient directeur de la droite (\mathrm{AH}): \tau(h)=\dfrac{y_{\mathrm{H}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{H}}-x_{\mathrm{A}}}.