Soit f , la fonction définie sur \R par f(x)=x^{3}-2 x-5. On appelle \mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère (\text{O}; \vec{i}, \vec{j}).
On admet que l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha .

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Objectif

Obtenir des valeurs approchées de \alpha en utilisant une des trois méthodes.

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Méthode 1
GeoGebra

1. Conjecturer à quel intervalle d'amplitude 0{,}5 appartient \alpha .

2. À l'aide de GeoGebra, construire \mathcal{C}_f , le point \mathrm{A}_{0} d'abscisse \dfrac{3}{2} de \mathcal{C}_f et tracer la tangente \mathrm{T}_{0} à \mathcal{C}_f en \mathrm{A}_{0}. Elle coupe l'axe des abscisses en un point \mathrm{M}_{0}.

3. \text{A}_{1} est le point de \mathcal{C}_f de même abscisse que \mathrm{M}_{0} et on construit \mathrm{M}_{1} suivant le même procédé.

4. Déterminer une valeur arrondie à 10^-1 des abscisses respectives x_0 , x_1 et x_2 de \mathrm{M}_{0}, \mathrm{M}_{1} et \mathrm{M}_{2}.

5. Donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-1} près.

GeoGebra

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Méthode 2
Tableur

Soit a un réel de \R et \text{A} le point de \mathcal{C}_f d'abscisse a. On admet que la tangente \text{T} à \mathcal{C}_f en \text{A} n'est pas parallèle à l'axe des abscisses.

1. Vérifier que le point d'intersection \text{M} de \text{T} avec l'axe des abscisses a pour abscisse a-\dfrac{f(a)}{f^{\prime}(a)}.

2. À l'aide d'un tableur, construire un tableau donnant les indices i , les abscisses x_i des points \text{A}_i, les ordonnées y_i des points \text{A}_i et les nombres dérivés f^{\prime}(x_{i}) : on entre 1{,}5 en B2. Quelles formules faut-il entrer en C2, D2 et B3 ?

3. Recopier les formules vers le bas et donner une valeur arrondie à 10^-7 de \alpha. À son époque, Newton avait trouvé 2,094 551 48.

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Méthode 3
Python

On veut écrire un programme sous Python qui retourne sous forme de liste les différentes valeurs x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} pour une valeur de x_0 et une valeur de n données.

1. Écrire sous Python deux fonctions, l'une qui retourne f(x) et l'autre qui retourne f^{\prime}(x).

2. Compléter la fonction \bf{newton} qui calcule x_0 , x_1 , ... , x_n pour une valeur de x_0 et une valeur de n données.

3. Comment utiliser la fonction \bf{affichage} avec la fonction newton pour qu'elle affiche les cinq premières valeurs approchées de la solution de l'équation f(x)=0\:?

def f(x):
  return(...)

def f_prime(x):
  return(...)

def newton(x_0, nb_etapes):
  valeurs = [0]*(nb_etapes + 1) #de 0 à nb_etapes
  valeur[0] = ...
  for idValeur in range(... , ...):
    x = ...
    valeurs[idValeur] = x - ...
  return(valeurs)

def affichage(liste):
  n = len(liste) #nombre d'éléments dans la liste
  for idValeur in range(n):
    print("x_{} = {}".format(idValer, liste[idValeur]))

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